本书上册是“黎曼几何引论”课的教材，前四章是黎曼几何的基础；第五与第六章介绍黎曼几何的变分方法，是大范围黎曼几何学的初步；第七章介绍黎曼几何子流形的理论。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题答案和提示，便于读者深入学习和自学。

本书可供综合大学、师范院校数学系、物理系学生和研究生作用教材。

“黎曼几何引论”课是基础数学专业研究生的基础课。从1954年黎曼首次提出黎曼几何的概念以来，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论。本书上册是“黎曼几何引论”课的教材，前四章是黎曼几何的基础；第五与第六章介绍黎曼几何的变分方法，是大范围黎曼几何学的初步；第七章介绍黎曼几何子流形的理论。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题答案和提示，便于读者深入学习和自学。

本书可供综合大学、师范院校数学系、物理系学生和研究生作用教材，并且可供数学工作者参与。

绪论 

第一章 微分流形 

 1．1 微分流形

 1．2 光滑映射

 1．3 切向量和切空间

 1．4 单位分解定理

 1．5 光滑切向量场

 1．6 光滑张量场

 1．7 外微分式

 1．8 外微分式和积分和Stokes定理

 1．9 切丛和向量丛

 习题一

第二章 黎曼流形

 2．1 黎曼度量

 2．2 黎曼流形的例子

 2．3 切向量场的协变微分

 2．4 联络和黎曼联络

 2．5 黎曼流形上的微分算子

 2．6 联络形式

 2．7 平称移动

 2．8 向量丛上的联络

 习题二 

第三章 测地线

 3．1 测地线的概念

 3．2 指数映射

 3．3 孤长的第一变分公式

 3．4 Gauss引理和法坐标系

 3．5 测地凸领域

 3．6 Hopf-rinow定理

 习题三 

第四章 曲率 

 4．1 曲率张量

 4．2 曲率形式

 4．3 截面曲率

 4．4 Ricci曲率和数量曲率

 习题二

第三章 测地线

 3．1 测地线的概念

 3．2 指数映射

 3．3 弧长的第一变分公式

 3．4 Gauss引理和法坐标系

 3．5 测地凸邻域

 3．6 Hopf-Rinow定理

 习题三

第四章 曲率

 4．1 曲率张量

 4．2 曲率形式

 4．3 截面曲率

 4．4 Ricci曲率和数量曲率

 4．5 Ricci恒等式

 习题四

第五章 Jacobi场和共轭点

 5．1 Jacobi场

 5．2 共轭点

 5．3 Cartan—Hadamard定理

 5．4 Cartan等距定理

 5．5 空间形式

 习题五

第六章 弧长的第二变分公式

 6．1 弧长的第二变分公式

 6．2 Bonnet-Myers定理

 6．3 Synge定理

 6．4 基本指标引理

 6．5 Rauch比较定理

 习题六

第七章 黎曼流形的子流形

 7．1 子流形的基本公式

 7．2 子流形的基本方程

 7．3 欧氏空间中的子流形

 7．4 极小子流形

 7．5 体积的第二变分公式

 习题七

习题解答和提示

参考文献

索引