数学教育的不朽经典，数学大师的呕心之作。

本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用。

菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。

本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。

克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。

本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用本书译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，”所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书”至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……”。

第一卷目录

 博洽内容独特风格

——《高观点下的初等数学》导读 吴大任

 纪念克莱因

——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友

 第一版序

 第三版序

 英文版序

 前言

第一部分 算术

 第一章 自然数的运算

§1.1 学校里数的概念的引入

§1.2 运算的基本定律

§1.3 整数运算的逻辑基础

 第二章 数的概念的第一个扩张

§2.1 负数

§2.2 分数

§2.3 无理数

 第三章 关于整数的特殊性质

 第四章 复数

§4.1 通常的复数

§4.2 高阶复数，特别是四元数

§4.3 四元数的乘法——旋转和伸展

§4.4 中学复数教学

 附：关于数学的现代发展及一般结构

第二部分 代数

 第五章 含实未知数的实方程

§5.1 含一个参数的方程

§5.2 含两个参数的方程

§5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程

 第六章 复数域方程

§6.1 代数的基本定理

§6.2 含一个复参数的方程

第三部分 分析

 第七章 对数函数与指数函数

§7.1 代数分析的系统讨论

§7.2 理论的历史发展

§7.3 中学里的对数理论

§7.4 函数论的观点

 第八章 角函数

§8.1 角函数理论

§8.2 三角函数表

§8.3 角函数的应用

 第九章 关于无穷小演算本身

§9.1 无穷小演算中的一般考虑

§9.2 泰勒定理

§9.3 历史的与教育学上的考虑

 附录 

Ⅰ. 数e和π的超越性

Ⅱ. 集合论

第二卷目录

 第一版序

 第三版序

 英文版序

 前言

第四部分 最简单的几何流形

 第十章 作为相对量的线段、面积与体积

 第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理

 第十二章 格拉斯曼空间原理

 第十三章 直角坐标变换下空间基本图形的分类

 第十四章 导出的流形

第五部分 几何变换

 第十五章 仿射变换

 第十六章 投影变换

 第十七章 高阶点变换

§17.1 反演变换

§17.2 某些较一般的映射投影

§17.3 最一般的可逆单值连续点变换

 第十八章 空间元素改变而造成的变换

§18.1 对偶变换

§18.2 相切变换

§18.3 某些例子

 第十九章 虚数理论

第六部分 几何及其基础的系统讨论

 第二十章 系统的讨论

§20.1 几何结构概述

§20.2 关于线性代换的不变量理论

§20.3 不变量理论在几何学上的应用

§20.4 凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化

 第二十一章 几何学基础

§21.1 侧重运动的平面几何体系

§21.2 度量几何的另一种发展体系——平行公理的作用

§21.3 欧几里得的《几何原本》

第三卷目录

 译者的话

 第一版序

 第三版序

 前言

第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法

 第二十二章 关于单个自变数x的阐释

§22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念

§22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野

§22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明

§22.4 用关于点集的两个定理来阐明

 第二十三章 单变数x的函数y＝f(x)

§23.1 函数的抽象确定和经验确定(函数带概念)

§23.2 关于空间直观的引导作用

§23.3 自然规律的准确度(附关于物质构成的不同观点)

§23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率

§23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度？

§23.6 连续函数的可积性

§23.7 关于最大值和最小值的存在定理

§23.8 4个广义导数

§23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述

§23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性

§23.11 “合理”函数

 第二十四章 函数的近似表示

§24.1 用合理函数近似表示经验曲线

§24.2 用简单解析式近似表示合理函数

§24.3 拉格朗日插值公式

§24.4 泰勒定理和泰勒级数

§24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数

§24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用

§24.7 用有尽三角级数插值法

 第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示

§25.1 经验函数表示中的误差估计

§25.2 通过最小二乘法所得的三角级数插值

§25.3 调和分析仪

§25.4 三角级数举例

§25.5 切比雪夫关于插值法的工作

 第二十六章 二元函数

§26.1 连续性

§26.2 偏导次序的颠倒实例

§26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数

§26.4 球函数在球面上的值分布

§26.5 用有尽球函数级数作近似表示的误差估计

第八部分 平面曲线的自由几何

 第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何

§27.1 关于点集的若干定理

§27.2 通过对两个或多个不相交圆的反演所产生的点集

§27.3 极限点集的性质

§27.4 二维连续统概念、一般曲线概念

§27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线

§27.6 较狭义的曲线概念：若当曲线

§27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线

§27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线

§27.9 理想曲线的可感知性

§27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法

§27.11 用理想图形表现经验图形；佩雷观点

 第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何

§28.1 对两个相切圆的相继反演

§28.2 对3个循环相切圆的相继反演(“模图形”)

§28.3 4个循环相切圆的标准款

§28.4 4个循环相切圆的一般款

§28.5 所得非解析曲线的性质

§28.6 这整个论述的前提，韦龙尼斯的进一步理想化

 第二十九章 转入应用几何：A.测量学

§29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尼奥斯课题的实践

§29.2 通过多余的度量来确定准确度，最小二乘法的原则阐述

§29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明

§29.4 地球参考椭面上最短线在测量学中的意义(附关于微分方程论的假设)

§29.5 关于水准面及其实际测定

 第三十章 续论应用几何：B.作图几何

§30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明

§30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性

§30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识

§30.4 提出所要证明的定理：w′＋2t″＝n(n－2)

§30.5 证明中将采用的连续性方法

§30.6 有与无二重点的Cn之间的转化

§30.7 符合定理的偶次曲线举例

§30.8 奇次曲线的例子

§30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成

 第九部分 用作图和模型表现理想图形

§1 无奇点挠曲线，特殊地，C3的形状(曲线的投影及其切线曲面的平面截线)

§2 挠曲线的7种奇点

§3 关于无奇点曲面形状的一般讨论

§4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点

§5 F3的形状概述

 呼吁：通过观察自然，不断修订传统科学结论

人名译名对照

译后记

自然数的运算

让我们从算术的基础即正整数的运算讲起。就像以后各章一样，我们先提出中学里是怎样处理这些内容的，再讲从高等数学观点看它们意味着什么。

§1.1 学校里数的概念的引入

我只限于做一些简单的提示，这将使你们回忆起自己是怎样学到数的概念的。我这样讲的目的，当然不是像中学讲习班那样，为了把你们领进教学之门，而仅仅是为了摆出我们据以进行评论的材料。

教小孩学会整数的性质，学会整数的运算，再使他们彻底掌握，这是一个很难的问题，要他们下几年的工夫，从小学一年级学到10岁或11岁。德国的教法也许用直观和生成两个词来表达最为确切。也就是说，整个数的概念结构是在熟悉的、具体的事物的基础上逐步建立起来的，这与大学里学习用的逻辑及系统方法恰成鲜明的对照。

这一部分教学内容可以大致划分如下：小学一年级整整一年都学整数1到20，前半学年从1学到10。整数最初出现是用一个个点或一排排小孩熟悉的各种东西标上数字，然后用直观法讲授加法和乘法，使小孩牢记在心。

第二阶段教整数1到100，引入阿拉伯数字，同时引入位制概念和十进制。附带说说，“阿拉伯数字”这个名称就像许许多多科学名称一样，是一个张冠李戴的名称。发明这种记数的形式实际上是印度人，而不是阿拉伯人。第二阶段的另一个主要目的是学会乘法表，可以说必须要睡着了也背得出5×7或3×8。当然学生要熟记乘法表到这种程度，这只有通过直观的手段，运用具体的东西使学生搞清楚之后，才能够说有把握。为此目的，常用算盘来帮忙。你们知道，它有10条柱子，一条在另一条之上，每一条上穿10个活动的珠子。适当移动这些珠子，就可以读出乘法的结果以及它的十进制记法。

最后在第三个阶段，教一位数以上的运算。运算都是一些已知的简单规则，其普遍正确性对于学生是不言而喻的，或者说是理所当然的。不过虽然说是理所当然的，但他们也不一定能把这些规则完全变成自己的规则，常常需要用权威的口吻灌输给他们，告诉他们如此这般，记不住不行。

这里我想再强调一点。这一点往往被大学教学所忽略，那就是联系实际生活去着重指出数的应用。从一开始学生就同取自实践的数打交道，离不开硬币、尺寸和重量。“这多少钱？”之类的问题，在日常生活中是极其重要的，一定要成为许多教学内容的中心。这样去学，很快就会达到解应用题的阶段，即必须深入思考才能确定用哪一种运算方法的阶段。再进一步，就要接触比例问题、混合运算问题等等。因此，除了上面我们用来概括这种教学性质的两个词——直观和生成以外，还可以加上第三个词即应用。

概括来说，数的教学目的也许可以归纳为：要使学生应用运算规则可靠无误，应以有关智力的平行发展为基础，而不必特别考虑逻辑关系。

这里我附带要你们注意：受过大学教育的教师和上过初等师范学校的教师的区别，由于所受教育的不同，往往造成学校教学上的不连贯。到了小学六年级或六年级以后，算术教师就要换了，上过大学的教师就要接替上过初等师范的教师，结果教学上的不连贯性往往会不幸地表现出来。可怜的小家伙们突然要去熟悉新的表达式，而不许用旧的了。最简单的一个例子是乘号的不同，小学教师要用“×”号，而上过大学的教师要用“·”号。诸如此类的矛盾当然是可以克服的，只要教育程度较高的教师更多地关照自己的同事，在共同的基础上求得一致。如果你明白对于小学教师的工作必须予以多大的尊重，你就会觉得这是不难做到的。不妨设想一下，要把算术原则一遍又一遍地灌输给千千万万个没有学过的笨孩子，这需要多高级的教学法！用你在大学里学的那一套去试一下，十之八九会碰壁！

闲话少说，我们再回过来谈教学内容。我们要指出，过了中学三年级，特别是到了四年级，算术就开始套上数学的高贵的外衣，转而采用字母符号来进行运算，这是转变期的一个特征。我们用a，b，c或x，y，z来表示任何一个数，起初只是正整数，并将算术的运算法则用到了字母所表示的数上，而这些数则没有具体的直观的内容。这是抽象化过程中的一大步。这一步就使我们有理由说：真正的数学是从字母符号的运算开始的。当然，这种转变不能突如其来，必须使学生自己逐渐习惯于这样明显的抽象。

似乎毫无疑问，为了搞好这一部分的教学，教师必须彻底了解运算的逻辑法则及基础，以及整数的理论。P3-5

我向数学界，特别是向中学数学教师奉献的这一卷新书，应该看做是“中学数学教学讲义”，尤其要当作为去年由杜伯纳(Teubner)出版社出版的、席马克与我合著的《数学教学组织》一书的续篇。那时我们所关心的是向数学家介绍种种不同的教学方法，而目前我所关心的是数学教学内容的种种进展。我的努力方向是充分结合当今的数学教学方法，从现代数学科学观点出发，向数学教师以及已成熟的学生介绍数学教学的内容及基础，但要尽可能做到简洁、有启发性，也有说服力。我不准备仿照韦伯(Weber)和韦尔斯坦因(Wellstein)两人那种有系统的讲法，只是想像实际讲课中那样，随机应变、自由发挥。

这样的写作大纲，在我和席马克去年4月出版的那本书的序言中已有提及，目前仅仅贯彻于本卷算术、代数、分析这3个部分中。我曾希望，尽管有许多困难，席马克先生会挤出时间把我的讲义整理好再付印。不过怪我不好，不断要求他把时间用在我们两人都感兴趣的其他教学法问题上。很快就发现，当初的计划不能完成，特别是不能在短期内完成。可是要想对刚刚浮现的那些教学问题发挥真正的影响，非要在短期内完成不可。于是像前几年那样，只得求助于一种比较简便的方法，将我的讲义付之石印，尤其是因为我现在的助手——欧内斯特·海林格(Hellinger)博士特别胜任这个工作。我们不应当低估海林格博士付出的劳动。把一个教师在偶然条件影响下讲的话整理成通顺的记录，这不是一件轻而易举的事。通常要印刷出版就要做到叙述精确、解释一致，可是讲课的人往往做不到这一步。

对于是否继续出版有关数学教学的著作，至少是在几何方面，我很犹豫。我仅希望这一卷石印的书能促使高中数学教师再度运用独立思考，确定讲授教学材料的最好方法。这本书的目的只不过是起到智力启发作用，而不能当作一本详尽的手册。至于手册之类，应该让积极从事中学教学的老师来写。某些人可能误会，以为我的书还有别的什么目的，这样想就错了。特别应说明，德国自然科学家及医师协会教学委员会拟的课程大纲不是我写的，只是在我的协作下由一批优秀的中学数学教师写成的。

最后，关于本书的叙述方法，我只想说明一下，像以往一样，我在这里做出的努力，就是把几何直觉与算术公式的精确性结合起来，而我感到特别高兴的是能遵循各种理论的历史发展，理解今天教学上互相平行的几种教授方法的显著差别。

克莱因(F·Klein)

1908年6月于哥廷根

教师应该具备更高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单。

《高观点下的初等数学》一书，至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理，而当时德国数学教育中的不少问题，在今日之我国也仍然存在。克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发……现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷。我热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代化的《高现点下的初等数学》。这样一本书的出版将是我国数学教育史上的一件大事。

吴大任

读这本书，您会感到极有收获，而不得不心悦诚服。不得不承认克莱因是真正的大师！

齐民友

除了数学的工作之外，克莱因的数学史至今仍是19世纪数学史上的重要的标准著作，作为当时的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪。他的《高观点下的初等数学》反映了他对数学的许多现点，是一本译为多种文字的通俗读物，影响至今不衰。

胡作玄

菲利克斯·克莱因教授是德国有名的数学研究家，他也是一位循循善诱的教师。他以罕见的天才，集一切数学领域的知识于一身，并善于领悟这一切领域之间的相互关系。他认为使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体，是他作为一个教师的明显职责。他对中学数学教学有浓厚的兴趣，不仅关心应该教些什么内容，而且关心怎样教才是最有效的方法……他一贯努力缩短中学和大学之间的差距，从传统的漠不关心中激起中学教师对高等数学的兴趣，把中学数学教学引向健康发展的方向；同时也努力扭转大学的态度及教学方向，使之承认中学的正常地位，使数学教育前后一贯……《高观点下的初等数学》是一本无比珍贵的著作，同样可作为大学教师和中学教师的参考书。无论就材料安排的巧妙或就讨论方式的引人入胜来说，目前都没有一本书可以同这本书相比。

洛杉矶加利福尼亚大学数学教授E·R·赫德里克

伯克利加利福尼亚大学数学教授C·A·诺布尔