博大精深的数学究竟是人类的发明还是发现？为什么它竟能描述宇宙万物的规律？是否真的有一位无所不能的上帝，他本身就是数学家呢？

蜚声世界的科普名家Mario Livio。回顾了千百年来人类所进行的深层次思考，试图从哲学角度阐释数学的本质，揭示数学与物质世界和人类思维之间的紧密联系。从信奉万物皆数的毕达哥拉斯、刀斧之下依然从容演算的阿基米德，到自制天文望远镜探索宇宙的近代科学始祖伽利略、坚持“我思故我在”的解析几何之父笛卡儿，再到极力反对柏拉图主义的现代数学家阿蒂亚，数学思想几经发展又已一脉相承。历史上这些伟大的科学家在各自领域的重要贡献、他们在数学发展史上的远见卓识。以及他们的智慧人生和传奇故事，绘成一幅幅五彩斑斓的历史画卷，自Livio的丹青妙笔下缓缓流露舒展。

数学无处不在，无所不能。它渗透在所有领域，能解释宇宙万物，完全超越了人类的能力。本书按照数学关键概念的演化过程来组织结构，引经据典地从哲学角度全方位阐释数学的本质，以及数学和我们的物质世界、人类思维之间的关系。其间，传奇的历史人物和神秘的古老传说让深奥的哲学论证趣味横生。

本书适合所有对数学感兴趣的读者阅读。

第1章 神秘的数学

 发现还是发明

第2章 神秘学：命理学家和哲学家

 毕达哥拉斯

 进入柏拉图的洞穴

第3章 魔法师：大师和异端

 给我一个支点，我将撬起地球

 阿基米德重写稿

 《方法论》

 阿基米德最优秀的学生

 星际信使

 自然之书

 科学和神学

第4章 魔法师：怀疑论者和巨人

 一个梦

 一位现代人

 纽约市地图上的数学问题

 那儿有光

 我开始思考月亮上的引力

 《原理》

 牛顿和笛卡儿的数学家上帝

第5章 统计学家和概率学家：不确定的科学

 超越死亡和税捐的可能性

 平均人

 靠碰运气取胜的游戏

 事实和预测

第6章 几何学家：未来的冲击

 欧几里得“真理”

 奇异的新世界

 空间、数学和人类

第7章 逻辑学家：思考推理的人

 逻辑和数学

 思维的法则

 罗素的悖论

 类似非欧几何的危机再次重演了吗

 不完全的真理

第8章 无理由的有效性

 纽结

 生命之结

 宇宙是在一根弦上吗

 重要的精确性

第9章 人类大脑中的数学和宇宙

 形而上学、物理学和认知学

 发现和发明

 你能说数学语言吗

 维格纳的难题

注解

神秘的数学

几年前，我在康奈尔大学发表演讲时，我的幻灯片中有一个标题是：“上帝是数学家吗？”当这个标题刚投影出来时，我听到坐在前排的一个学生倒吸了一口凉气：“天啊，我可不希望这样。”

这个一语惊人的问题，并不代表我打算从哲学上来定义上帝，也不是用来恐吓那些讨厌数学的人们的。事实上，我只是提出了一个谜，这个谜曾令那些最富有创新精神的先贤们苦苦思索了几个世纪：数学无处不在、无所不能。这些正是会让人们联想到神的特性。正如英国物理学家詹姆斯·琼斯(James Jeans，1877—1946)曾指出的：“宇宙似乎是由一位理论数学家设计的。”数学似乎不仅是描述和解释整个宇宙最有效的工具，而且可以用来解释最复杂的人类活动。

今天，无论是物理学家试图创立一种关于宇宙的新理论，股票市场分析员苦苦思索以预测下一轮股市暴跌，神经生物学家构建大脑功能模型，还是军事情报专家优化各种军事资源配置，他们都要使用数学。而且，即使他们在形式上发展出了数学的不同分支，在基础研究中他们依然需要求助于通用、一致的数学基本理论。是什么赋予数学如此令人难以置信的力量？或者，正如爱因斯坦曾经惊叹的：“数学，这个独立于人类经验存在的人类思维产物，怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致？”

这种困惑并非一件新鲜事。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥斯拉和柏拉图学派的，已经清晰认识到了数学在形成和支配宇宙方面所具有的能力，并对之怀有深深的敬畏之心。他们发现(数学的)这种能力似乎真实存在，而且超越了人类改变、引导和影响它的能力。英国政治哲学家托马斯·霍布斯(Thomas Hobbes，1588—1679)毫不掩饰他对此能力的崇敬之情。在他的《利维坦》(Leviathan)一书中，霍布斯关于社会和政府基础的阐述给人留下了深刻印象。他选择几何学作为理性论证的范例。

可以看到，真理存在于把各种名称正确排序后所组成的断言中，因此，追求严谨真理的人需要记住他所使用的每个名称的含义，并把它们正确地排列好，否则就会发现自己绕在了文字表述中，就好像一只陷在椴树树枝中的小乌，挣扎得越厉害，就越不能自拔。为此，在几何学中(这是迄今为止唯一令上帝满意并恩赐给人类的学问)，人们首先确定名称的含义(这种含义称为“定义”)，并且把它们作为认知的起点。

上千年来给人以深刻印象的数学研究和广博的哲学思考，都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的牛津数学物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Pertrose)意识到，人类周围并不是仅有1个世界，而应该有3个神秘世界。按彭罗斯的划分，这3个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦、欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿斯匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏、人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界，这里是数学的家园，对彭罗斯而言，和精神世界和物理世界一样，这个世界也是真实存在的。这里有自然数1、2、3、4……，欧几里得几何学所有图形和定理、牛顿运动定律、弦论、突变论，以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这3个世界之间神秘相联的3种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳(Eugene Wigner，1902—1995)也有同样的疑惑：  数学语言适于表达物理法则，这种神奇是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望在未来的研究中它仍然有效，而且继续扩展以拓展人类认识，无论这是好是坏，也无论这带给我们的是欢乐还是困惑。

其次，人类洞察性思维本身——我们主观认知能力的源泉——似乎来自干物理世界。思维究竟是如何从物质中产生的？我们是否能够将思维的工作机理上升为一种理论，如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这3个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，洞察性思维才得以奇迹般地进入数学王国之中。

彭罗斯并未给出任何关于这3个世界神秘现象的解释。实际上，他的结论非常简洁：“毫无疑问，并不真正存在3个世界，而是只有1个世界。并且直到目前为止，对于这个真实世界的本质，我们对它的认识甚至连肤浅也谈不上。”

P1-3

毫无疑问，数学是复杂的，以致于有太多的数学家感叹道：“数学是上帝书写宇宙的语言！”但是，毋庸置疑，数学又是重要的，现代科学发展的基石就是数学，甚至一门学科与数学联系的紧密程度可以代表该学科的发展水平。然而，即使在今天，对于究竟什么是数学这样一个看似简单的问题，我们仍然无法给出明确答案。数学王国是一个独立存在于宇宙之中，我们仅仅只能窥视一角的真实世界？如果是这样的话，数学家们所有的付出只是为了发现这个世界的奥秘。抑或数学是人类智慧与文明璀璨王冠上那颗最光彩夺目的明珠，数学的发展可以视为人类一种纯粹的思维上的智力活动？自从古希腊时代，这个问题使那些最优秀、最聪明的头脑困惑不已，包括毕达哥拉斯、柏拉图、阿基米德、伽利略、笛卡儿、牛顿、高斯、布尔、哥德尔……，每当我们自以为已经找到了答案时，就会有新的例子证明我们也许错了，唯一可以肯定的是，这个名单还会继续下去。

Mario Livio本人是一位数学史学家，也是一位天体物理学家。在这本书里，他以一种非常宽广的历史视角，从数学与逻辑(人类思维)的联系等不同角度，深入研究了数学的本质、数学本身的发展、数学与哲学的关系。在这个探索与发现的旅途上，作者旁征博引，恣意纵横，通过大量的原始资料，让你可以在轻松的状态下了解到一个有声有色的数学世界，以及过去我们知之甚少的数学家的另外一面，最终，启发你得出自己的答案。正是作者深厚的学术素养、严谨的研究风格、活泼的写作方式，使得这本书在全美畅销书排行榜上占据了一席之地。

本书的写作切入角度非常独到，语言也十分活泼，本人在翻译过程中一直努力将作者的原意体现出来，但是由于水平所限，可能无法完全达到这一目的，诚为憾事。

黄征

2010年4月10日