数学就像一颗明珠一样闪烁着人类智慧的光芒，千百年来吸引着无数的数学爱好者，让他们在探索数学的道路上奉献出自己的才华和智慧。

本书集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观浅显、通俗易懂，充分展示数学之美。读者也会从其中得到不同的乐趣和益处，可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。

  这本书从人类初步了解数学说起，讲述了人们对数学的不断探索。包括了数学悖论，第一次、第二次、第三次数学危机，哥德尔不可判定命题、混沌、NPC理论等非平凡问题；算术、几何、图论当中的有趣问题。如将来数学还会产生悖论与危机吗？尚未解决的数学难题是否为不可判定命题？数学定理为什么要证明？本书集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观浅显、通俗易懂，充分展示数学之美。读者也会从其中得到不同的乐趣和益处，可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。

第一章 数学起源

 第一节 数的形成

一、数的形成

二、数觉与等数性

 第二节 数的语言、符号与记数方法的产生

一、数的语言

二、记录数的符号数字

三、古代的进位制

第二章 数学算数知多少

 第一节 人类对自然数的探索及研究

一、对自然数的早期认识

二、自然数的早期研究

 第二节 符号“0”的产生

 第三节 整数见闻

一、完全数

二、亲和数

三、勾股数

 第四节 小数的产生与表示

 第五节 最早的二进制

 第六节 数的运算

 第七节 “算术”的涵义

 第八节 算术的基因和基理

 第九节 关于素数

一、素数的故事

二、素数的生产

 第十节 你知道有多少孪牛质数吗?

一、有多少个质数

二、质数的奇妙分布

三、数学难题的出现

四、在寻找质数公式的崎岖道路上

第三章 几何奥妙的探索

 第一节 几何的起源

一、形的起源

二、几何图形

三、实验几何

 第二节 《几何原本》内容提要与点评

 第三节 蝴蝶定理

 第四节 勾三股四弦王

一、中国的345三角形

二、徒手在正方形纸片上作出24个345三角形

三、方圆之中的345三角形

 第五节 化圆为方的绝招

第四章 数学符号的产生与演进

 一、加法符号“+”

 二、减法符号

 三、乘法符号“×

 四、除法符号“÷

 五、等号“一”、大于号“>”、小于号“<

 六、小括号“()”、中括号“[]”、大括号“{}

 七、根号“厂

 八、指数符号“a

 九、对数符号“log”，“ln

 十、虚数单位i、7r、e以及以+6i

 十一、函数符号

 十二、求和符号“∑”、和号“S”、极限符号及微积分符号

 十三、三角函数的符号与反三角函数的符号

 十四、其他符号

第五章 模糊数学初探

 第一节 由一个古希腊问题引出的模糊概念

 第二节 集合的产生

一、一个“疯子”的后遗症

二、集合与集合之间的关系

三、模糊集合是由普通集合拼凑而成的

四、模糊关系

五、有趣的聚类图

六、从模糊相似矩阵到模糊等价矩阵

第六章 数学中的危机

 第一节 第一次数学危机

 第二节 有理数与无理数的探索

一、平易近人的有理数

二、神出鬼没的无理数

三、有理数是米，无理数是汤

 第三节 问遍天堂地狱，谁人知晓π的真面貌

 第四节 第二次数学危机

一、第二次数学危机概况

二、代牛顿圈改《流数简论》

 第五节 皮囊悖论

一、集合与皮囊悖论

二、整体等于其半

三、神秘的康托尔尘集

 第六节 理发师悖论与第三次数学危机

第七章 数学中七个“千年大奖问题"

 第一节 NP完全问题

 第二节 霍奇猜想

 第三节 庞加莱猜想

一、令人头疼的世纪难题

二、艰难的证明之路

三、庞加莱猜想的意义

 第四节 黎曼假设

一、黎曼假设的提出

二、黎曼假设概况

 第五节 杨-米尔斯理论

 第六节 纳维斯托克斯方程

 第七节 BSD猜想

第八章 探索路上的数学家

 第一节 人类首席数学家——欧几里得

 第二节 数学之神——阿基米德

 第三节 现代数学方法的鼻祖——笛卡儿

 第四节 为全人类增添光彩的人物一一牛顿

 第五节 此人就是一所科学院——莱布尼茨

 第六节 数学界的莎士比亚——欧拉

 第七节 历史上最伟大的数学家——高斯

 第八节 20世纪最伟大的数学家之一冯·诺依曼 

 第九节 陈景润与哥德巴赫猜想

第九章 巧用数学解决生活中的问题

 一、怎样让客人等吃饭的时间最少

 二、怎样寻找落料的最优方案

 三、数字密码锁为什么比较安全

 四、怎样计算用淘汰制进行的比赛场数

 五、怎样计算用单循环制进行的比赛场数

 六、怎样安排循环赛的程序表

 七、为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分

 八、生活中的分数

 九、巧分奖金

 十、猴子分桃子

 十一、不添篱笆扩羊圈

 十二、瞎子看瓜

 十三、爱因斯坦的舌头

 十四、稀世珍宝

 十五、牛郎和织女

数学的起源始终是数学史研究与学习中饶有兴味的重要课题之一。它引导研究者与学习者去发现人类的这一深邃的心智活动是怎样一步一步地发生和发展，从而叫答这个今天我们用以表达宇宙的惊人成就——计算是怎样获得的。由于这段历史发生在史前时期，又以不同的方式和过程独立地发生在文明的几个不同的源头，因此给研究带来很大的困难。迄今为止的许多研究结果虽然仍带有推测性，但不妨碍人们对数学的起源的正确认识。

第一节 数的形成

一、数的形成

数是“数”出来的。这句话确切地反映了数的概念产生的缘由。早期的人类大约也没有数的必要。从现在尚存在原始部落的语言中可以发现，他们甚至不具备表示3以上艄数。美国人类学家柯尔对澳洲原始部落研究后发现，很少有人会辨别四个东西，无须数数的原因之一，大约是占有物的贫乏。另外，没有物的集合体的概念也是产生不出数数活动的原因。例如，一些原始部落能区分出成百种不同的树木，并赋予它们各种不同的名称，却不存在“木”这一概括性概念。数是集合的一种性质，没有集合的概念，自然也就难以产生揭示其性质的活动。

大约在距今1万年前，随着地球上冰水消融、气候变化，人类中的一部分丌始结束散居的游牧生活，在大河流域定居起来，于是农业社会出现了。农民既靠地又靠天，因此他们十分关心日月的运行和季节的变化。此外，种植和贮藏、土地划分和食粮分配，以及随之而出现的贸易和赋税，等等，都潜在而又强烈地促使数数的必要，为数的概念和记数方法的产生提供了坚实的物质基础。

二、数觉与等数性

正整数的产生是在有史以前，人类起先并没有数的概念，对于物质世界中的数量关系的认识，只有一些模糊的感觉，这种感觉，有人称之为“数觉”。已经证实，有些动物，如许多鸟类也具有“数觉”。由于人类能认识世界，改造世界，在长期实践过程中，形成了数的概念。

在远古时代，原始人为了谋生，最关心的问题是——有没有野兽、鱼和果实，有则可以饱餐一顿，无则只好饿肚子。因此，人类就有了“有”与“无”的认识。进一步认识“有”的结果，引出了“多”与“少”的概念。这就使人类对数量关系从孤立的认识提高到了比较阶段。

在多与少的分辨中，认识“1”与更多的区别又是必然而关键的一步。从孩儿认识“1”的过程可以推测，人们最初对“1”的认识是由于人通常是用一只手拿一件物品产生的。也就是说，它是由一只手与一件物品之间的反复对应，在人的头脑中形成的一种认识。

建立物体集合之间的一一对应关系是数“数”活动的第一步。在这一活动中，不仅可以比较两个集合的元素之问的多或少，更主要的是可以发现相等关系，即所谓的等数性。

尽管集合与映射的慨念直到19世纪才出现，但人们对集合问等数性的认识与集合问的一对应思想却早已有之。因而，人们用所熟悉的东西来表示一个集合的数量特征。例如，数“2”与人体的两只手、两只脚、两只耳朵、两只眼睛等联系在一起。汉语中的“二”与“耳”同音，也即某一个集合中元素的个数与耳朵一样多，这就是利用r等数性。据说，古代印度人常用眼睛代表“二”。

在数的概念形成过程中，对等数性的认识是具有决定意义的。它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。

根据考古资料，远古时代，人们用来表示等数性的方法很多，例如，利用小石子、贝壳、果核、树枝等或者用打绳结或在兽骨和泥板上刻痕的方法。这种计算方法的痕迹至今仍在一些民族中保留着。有时候，为了不丢失这些计算工具，而把贝壳、果核等串在细绳或小棒上，这样记下来的并不是真正的、抽象的数，只是集合的一类性质——数量特征的形式转移。

除了实物计数，人们还利用自己的身体来计数，利用屈指来计数：表示一个物体伸一个指头，表示两个物体伸两个指头，如此下去。直到现在，南美洲的印第安人还是用手指与脚趾合在一起表示数“20”。屈指计数为五进制、十进制等记数制的产生提供可能，当这种可能变成事实时，数的概念连同有效的计数技术也就产生了。

等数性刻画了集合的基数。当人们利用屈指记数时，不自觉地从基数转人了序数。例如，要表示某一集合包含三件事物时，人们可以同时伸出三个手指，这时的手指表示基数。如果要计数，他们就依次屈回或伸出这些手指，这时手指起了序数的作用。

无论是实物计数还是屈指计数都不是最理想的计数方法。实物计数演变为算筹、算盘。屈指计数沿着两个方向发展。

一个方向是探求手指计数的更理想的发展。例如，新几内亚的锡比勒部族人，利用手指和身体的其他部位，可以一直计数到27。中国有一种手指计数法，最高可算到10万。即使在现代，除了小孩初学计数时仍用手指外，在证券交易所也有用手指计数的。但随着数的语言、符号的产生，教育的普及，屈指计数的技术最终还是被淘汰了。

屈指计数发展的另一个方向是指计数和实物计数相结合，这个方向上创造出了进位制计数方法和完整的数的概念。P1-4

数学极富实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。数学就像一颗明珠闪烁着人类智慧的光芒，千百年来吸引着无数的数学爱好者，让他们在探索数学的道路上奉献出自己的才华和智慧。数学就像是时刻也离不开的良师益友，因为这门学科有着巨大的实用价值，正如一些数学家所说的那样：“在数学的世界里，甚至还有一些像诗画一样美丽的风景。”加里宁也曾经说过：“数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地思维着，无怪乎人们说数学是思想的体操。”

在探索数学的道路上，人们发现了一个又一个的难题，然后又一个一个地将这些难题解决，而这些难题，千奇百巧，琳琅满目，如同一朵朵绚丽无比的花朵，给人们挑战的勇气，刺激着人类的智慧。

在21世纪的今天，数学已经是一门应用范围极广、内容极为丰富、系统极其庞大的学科，是人们认识客观世界的重要工具，也是研究各门学科必不可少的重要工具。

这本书从人类初步了解数学说起，讲述了人们对数学的不断探索。包括了数学悖论，第一次、第二次、第三次数学危机，哥德尔不可判定命题、混沌、NPC理论等非平凡问题；算术、几何、图论当中的有趣问题。如将来数学还会产生悖论与危机吗？尚未解决的数学难题是否为不可判定命题？数学定理为什么要证明？本书集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观浅显、通俗易懂，充分展示数学之美。读者也会从其中得到不同的乐趣和益处，可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。

数学既古老又新颖，它与我们的日常生活密切关联。在探索中深入问题，在介绍中翻新思路，在评述中展示前人艰难跋涉的足迹，在阅读中体会创造的艰辛。希望读者能通过本书漫步在数学的幽径上，喜欢上数学，在生活之中寻找数学，感受数学的魅力，步入威严而又有趣的数学殿堂。

数学就像一颗明珠一样闪烁着人类智慧的光芒，千百年来吸引着无数的数学爱好者，让他们在探索数学的道路上奉献出自己的才华和智慧。

发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。

——达尔文