本书共分七章。第1章是矩阵分析的基础，包括矩阵的数值特征，几种重要变换下的标准形，半正定矩阵和正定矩阵的性质，以及Hadamard积和Kronecker积，特别介绍了矩阵求逆的几个重要公式。第2章介绍向量和矩阵范数，其中包括了一些常用的范数。第3章讨论矩阵序列和矩阵级数的收敛性，矩阵函数及其计算，以及矩阵微积分及其性质。第4章介绍矩阵分析中非常重要的矩阵分解，包括单个矩阵的常用分解以及两个矩阵的同时对角化问题。第5章为特征值分析，包括特征值的连续性，特征值所在区域的估计以及Hermite矩阵特征值的极性等，给出了与特征值和奇异值相关的一些重要不等式。第6章详细介绍了广义逆矩阵及其主要性质，特别给出了广义逆的一些重要算法，包括有限迭代算法，更新矩阵以及几种常见分块矩阵广义逆的表达式。第7章讨论与矩阵迹和特征值相关的几个重要不等式，着重分析了常用的Lowner偏序下矩阵逆或广义逆相关不等式成立的充要条件，并给出几个经典不等式在矩阵情形下的推广形式。

本书介绍了矩阵分析的丰富理论和方法，包括矩阵基础知识、向量和矩阵范数、矩阵函数、矩阵微积分、矩阵分解、特征值分析、广义逆矩阵以及矩阵不等式，特别强调矩阵分析的实际应用，提供了大量具有明确应用背景的例子，有助于读者学会灵活使用矩阵这一重要数学工具解决科学和技术领域中的相关问题。

本书适合于数学、统计、管理、计算机、电子电气、通信以及自动控制等学科有关教师、研究生和高年级本科生的教学之用，也可供相关科研人员学习或作为参考资料。

第1章　矩阵基础知识

 1.1　线性空间与线性映射

1.1.1　线性空间与线性子空间

1.1.2　Euclid空间、酉空间

1.1.3　线性映射及其矩阵表示

1.1.4　几个重要的线性子空间及其性质

 1.2　矩阵的数值特征

1.2.1　秩

1.2.2　行列式

1.2.3　迹

1.2.4　特征值、特征向量和特征多项式

 1.3　矩阵的标准形

1.3.1　等价变换下的标准形

1.3.2　相似变换下的Jordan标准形

1.3.3　相合变换下的标准形

 1.4　半正定和正定矩阵

 1.5　矩阵求逆公式

1.5.1　Leverrier-Faddeev算法

　 1.5.2　分块求逆公式

1.5.3 Sherman-Morrison-Woodbury公式

 1.6 Hadamard与Kronecker积

1.6.1 Hadamard积及其性质

1.6.2 Kronecker积及其性质

 习题.

第2章 向量范数和矩阵范数

 2.1 句量范数

2.1.1 向量范数的定义

2.1.2 常用向量范数

2.1.3 向量范数的分析性质

2.1.4 向量范数的代数性质

 2.2 矩阵范数

2.2.1 矩阵范数的定义及分析性质

2.2.2 常用的矩阵范数

2.2.3 由向量范数诱导的矩阵范数

 2.3 一些应用

2.3.1 谱半径与矩阵范数

2.3.2 矩阵逆与线性方程组解的扰动词题

2.3.3 条件数

 习题

第3章　矩阵函数和矩阵徽积分

 3.1　矩阵序列和矩阵级数

3.1.1　矩阵序列

3.1.2　矩阵级数

3.1.3　矩阵幂级数

 3.2　矩阵函数

3.2.1　矩阵函数的定义与性质

　　3.2.2　矩阵函数值的计算

 3.3　矩阵的微分和积分

3.3.1　以一元函数为元素的矩阵的微积分

3.3.2　函数对向量的微分

3.3.3 数对矩阵的微分

3.3.4　矩阵对矩阵的微分

 3.4　一些应用

3.4.1　特征多项式系数的表示

3.4.2　线性常系数微分方程组的求解

3.4.3　矩阵最优低秩逼近

 习题

第4章　矩阵分解

 4.1　满秩分解

 4.2　三角分解

4.2.1　LU分解

4.2.2　LDU分解

4.2.3 LU分解的算法

4.2.4 Cholesky分解

 4.3 QR分解

4.3.1 QR分解

4.3.2 Gram-Schmidt算法及其修正

4.3.3 Householder变换法

4.3.4 Givens旋转法

 4.4 奇异值分解

4.4.1 定义及性质

4.4.2 极分解

 4.5 矩阵的同时对角化

4.5.1 Hermite矩阵和正规矩阵同时对角化

4.5.2 广义奇异值分解

 4.6 一些应用

4.6.1 随机向量的模拟

4.6.2 基于QR分解的最小二乘算法

4.6.3 矩阵的最优逼近

 习题

第5章 特征值分析

 5.1 特征值的连续性

 5.2 特征值的估计

5.2.1 特征值的界

5.2.2 特征值所在的区域

 5.3 Hermite矩阵的特征值及其极性

5.3.1 Rayleigh商

5.3.2 广义Rayleigh商

5.3.3 特征值的分隔

5.3.4 Hermite扰动下的特征值

 5.4 一些应用

5.4.1 与对角矩阵相似的矩阵特征值的扰动

5.4.2 主成分分析

5.4.3 概率分布的Wasserstein距离

 习题

第6章　广义逆矩阵

 6.1　投影矩阵

 6.2　广义逆矩阵及其性质

6.2.1　广义逆的定义

6.2.2　广义逆的性质

6.2.3　广义逆的等价形式

6.2.4　广义逆的反序法则

6.2.5　广义逆矩阵的连续性问题

 6.3 广逆的计算方法

6.3.1单个矩阵的广义逆

6.3.2 更新矩阵的广义逆

6.3.3 分块算法

 6.4 一些应用

6.4.1 矩阵方程、线性方程组的解与广义逆

6.4.2 精确初始化的最小二乘递推算法

 习题

第7章 矩阵不等式

 7.1 数值特征的不等式

7.1.1 迹不等式

7.1.2 与特征值相关的不等式

 7.2 Lowner序

7.2.1 A>B

7.2.2 A2>B2

7.2.3几个重要不等式的矩阵形式

 7.3 一些应用

7.3.1 最优线性无偏估计融合

7.3.2 线性最小均方误差估计的解析表达式

7.3.3 估计的相对效率

 习题

参考文献

索引