《天才引导的历程(数学中的伟大定理)》是20多年来一直畅销不衰的名家经典，如散文一样优美、像小说一样生动的数学书！

本书将两千多年的数学发展历程融为十二章内容，每章都包含了三个基本组成部分，即历史背景、人物传记以及在这些“数学杰作”中所表现出的创造性。作者William Dunham(邓纳姆)精心挑选了一些杰出的数学家及其所创造的伟大定理，如欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉。而这一个个伟大的定理，不仅串起了历史的年轮，更是串起了数学这门学科所涵盖的各个深邃而不乏实用性的领域。

《天才引导的历程(数学中的伟大定理)》将两千多年的数学发展历程融为十二章内容，每章都包含了三个基本组成部分，即历史背景、人物传记以及在这些“数学杰作”中所表现出的创造性。作者William Dunham(邓纳姆)精心挑选了一些杰出的数学家及其所创造的伟大定理，如欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉。而这一个个伟大的定理，不仅串起了历史的年轮，更是串起了数学这门学科所涵盖的各个深邃而不乏实用性的领域。当然，《天才引导的历程(数学中的伟大定理)》不是一本典型的数学教材，而是一本大众读物，它会让热爱数学的人体会到绝处逢生的喜悦，让讨厌数学的人从此爱上数学。

译者序

前言

第1章 希波克拉底的月牙面积定理(约公元前440年)

论证数学的诞生

有关求面积问题的一些评论

伟大的定理：月牙面积

后记

第2章 欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明(约公元前300年)

欧几里得的《几何原本》

第一卷：准备工作

第一卷：早期命题

第一卷：平行线及有关命题

伟大的定理：毕达哥拉斯定理

后记

第3章 欧几里得与素数的无穷性(约公元前300年)

《几何原本》第二至六卷

《几何原本》中的数论

伟大的定理：素数的无穷性

《几何原本》的最后几卷

后记

第4章 阿基米德的求圆面积定理(约公元前225年)

阿基米德的生平

伟大的定理：求圆面积

阿基米德名作：《论球和圆柱》

后记

第5章 海伦的三角形面积公式(约公元75年)

阿基米德之后的古典数学

伟大的定理：海伦的三角形面积公式

后记

第6章 卡尔达诺与三次方程解(1545年)

霍拉肖代数的故事

伟大的定理：三次方程的解

有关解方程的其他问题

后记

第7章 艾萨克·牛顿的珍宝(17世纪60年代后期)

英雄世纪的数学

解放了的头脑

牛顿二项式定理

伟大的定理：牛顿的π近似值

后记

第8章 伯努利兄弟与调和级数(1689年)

莱布尼茨的贡献

伯努利兄弟

伟大的定理：调和级数的发散性

最速降线的挑战

后记

第9章 莱昂哈德·欧拉非凡的求和公式(1734年)

通晓数学的大师

伟大的定理：计算1+14+19+116+125+…+1k2+…的值

后记

第10章 欧拉数论集锦(1736年)

费马的遗产

伟大的定理：欧拉对费马猜想的反驳

后记

第11章 连续统的不可数性(1874年)

19世纪的数学

康托尔与无穷的挑战

伟大的定理：连续统的不可数性

后记

第12章 康托尔与超限王国(1891年)

无限基数的性质

伟大的定理：康托尔定理

后记

结束语

参考文献

直观上来说，毕达哥拉斯学派认为，任何两个量都是可公度的。给定任意两条线段，必有另一条线段EF可以均匀地分割这两个线段，哪怕EF的值为此会变得非常之小。怀疑EF的存在，似乎是十分荒谬的。线段的可公度性对毕达哥拉斯学派至关重要，这不仅因为他们利用这一观点证明相似三角形，而且还因为这一观点似乎可以支持他们关于整数中心地位的哲学态度。

但是，据说，毕达哥拉斯的弟子希帕萨斯发现正方形的边长与其对角线(见图1-6中的GH与GI)是不可公度的。即不论划分多小，都没有一个EF量可以均匀地分割正方形的边长和对角线。

这一发现产生了许多深远的影响。显然，这个发现粉碎了毕达哥拉斯那些建立在所有线段都可公度的假设基础之上的证明。几乎200年之后，数学家欧多克索斯才设法在不基于可公度概念的基础上，修补了相似三角形理论。其次，这一发现还动摇了整数至高无上的地位，因为如果并非一切量都可公度，那么，要想表示所有线段长度的比，光靠整数就不够了。因此，这一发现在其后的希腊数学中，建立了几何对算术的绝对优势。例如，如图1.6所示，正方形的边长和对角线无疑属于几何问题。然而，如果作为数字问题来计算，则会出现一个大问题。因为，如果我们设图1.6中正方形的边长为1，根据毕达哥拉斯定理，则对角线长度为。由于边长与对角线不可公度，因而我们看到，不能写成形如p/q的有理数。就数字而言，是“无理的”，其算术性质非常神秘。希腊人认为，最好完全回避采用数字的表达形式，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。这种几何对算术的优势将支配希腊数学一千年。

无理数的发现所引发的最终结果是，毕达哥拉斯学派对希帕萨斯引起的所有麻烦大为恼怒，据说他们把希帕萨斯带到地中海深处，然后推下水中。如果故事属实，则自由思想固有的危险性由此可见，即使是在比较严肃的数学领域，也不例外。

泰勒斯和毕达哥拉斯，虽然在传说的故事中神乎其神，但他们都是远古时代模糊而朦胧的人物。我们下面将介绍的希俄斯的希波克拉底(约公元前440年)则是一位比较可靠的人物。事实上，我们把有据可查的最早的数学论证归功于他。这就是本书中将要介绍的第一个伟大定理。

希波克拉底公元前5世纪生于希俄斯岛。当然，之前介绍的他的多位杰出前辈也出生在这个地方。(顺便提请读者注意，希俄斯岛距科斯岛不远，同一时期那里还诞生了另一位“希波克拉底”，不过科斯的希波克拉底不是我们这里谈到的希波克拉底，而是希腊的医学之父和医生遵循的《希波克拉底誓言》的创始人。)

关于数学家希波克拉底，我们对他的生平知之甚少。亚里士多德曾写过，虽然希波克拉底是一位天才的几何学家，但是他“……看起来在其他方面却显得迟钝又缺乏见识”。身为数学家，却难以应付日常生活，他即是早期的这样一类人。据说，希波克拉底是因为被强盗骗去钱财而出名的，显然，他被人当作了容易受骗的傻瓜。为了摆脱财务的困境，他前往雅典，并在那里教学，他是少数几位为挣钱而开始教学生涯的人之一。

无论如何，人们都不会忘记希波克拉底对几何学作出的两个非凡的贡献。其一是他编写了第一部《几何原本》，即第一次阐述了从几个已知公理或公设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程。至少，人们相信是他写了这部著作，但遗憾的是，这部著作没能流传至今。然而，这部书不论多么有价值，与100年后欧几里得的辉煌巨著《几何原本》相比，也不免黯然失色，欧几里得的《几何原本》从根本上导致希波克拉底著作的过时。即便这样，我们仍然有理由认为，欧几里得借鉴了他前辈的思想，因此希波克拉底失传的大作无疑使我们受益良多。

然而，令人欣慰的是，希波克拉底的另一个伟大贡献——求月牙面积——却流传至今，不过大家公认，其流传是无意的和间接的。我们未能得到希波克拉底的原作，而只有欧德摩斯大约公元前335年对希波克拉底著作的转述。即使就转述而言，事情也不乏含混之处，因为实际上，我们也没有真正找到欧德摩斯关于这番转述的原著。我们只看到了辛普利西乌斯于公元530年写的概要，他在这本概要中论述了欧德摩斯的著作，而欧德摩斯则是概括了希波克拉底的著作。实际上，从希波克拉底到辛普利西乌斯，其间经历了近一千年之久，差不多等于我们与莱弗·埃里克松之间的时间跨度，这说明历史学家在考证古代数学时遇到了多么大的困难。尽管如此，大体而言，我们没有理由怀疑我们所探讨的这项成就的真实性。P11-13

伯特兰·罗素在他的自传中回忆了他青少年时期的一场危机：

有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人去那里观看日落，想象着自杀。然而，我最终没有自杀，因为我希望了解更多的数学知识。

诚然，只有极少数人能够如此虔诚地皈依数学，然而有许多人能够领会数学的力量，特别是领会数学之美。本书谨献给那些希望更深入地探索漫长而辉煌的数学史的人们。

对于文学、音乐和美术等各种学科，人们的传统做法是以考证杰作——“伟大的小说”、“伟大的交响乐”、“伟大的绘画”——作为最恰当和最有启发性的研究对象。人们就这些主题著书立说，授课讲学，使我们能够了解这些学科中颇具创新意识的里程碑和创造这些里程碑的伟人。

本书采用类似的方法来研究数学，只不过书中大师们创造的不是小说或交响乐，而是定理。因此，本书不是一本典型的数学教材，没有一步一步地推导某个数学分支的发展。本书也不强调数学在确定行星运行轨道、理解计算机世界或者结算支票等方面的应用。当然，数学在这些应用领域极其成功。然而，并不是这些世俗功利促使欧几里得、阿基米德或乔治·康托尔为数学殚精竭虑，终生不悔。他们觉得没有必要借功利目的为自己的工作辩解，正如莎士比亚不必解释他为何要写十四行诗而没有写食谱，或者凡高为何要画油画而没有画广告画一样。

在本书中，我将从数学史的角度来探究一小部分最重要的证明和最精巧的逻辑推理，并重点阐述这些定理为什么意义深远，以及数学家们是如何彻底地解决了这些迫切的逻辑问题的。本书的每一章都包含三个基本组成部分。

第一部分是历史背景。本书中的“伟大定理”跨越了2300多年的人类历史。在讨论某个定理之前，我都将先介绍历史背景，介绍当时的数学状况乃至整个世界的总体状况。像其他任何事物一样，数学也是在一定的历史环境中产生的。因此，指明卡尔达诺三次方程的解法出现在哥白尼日心说公布后两年和英格兰国王亨利八世死前两年是有意义的，强调青年学者艾萨克·牛顿1661年进入剑桥大学学习时，王政复辟对剑桥大学的影响也是有意义的。

第二部分是人物传记。数学是有血有肉的实实在在的人的造物，而数学家的生平则可能给人以灵感、示人以悲剧或令人惊呼怪诞。本书所涉及的定理体现了许多数学家的勤奋努力，从交游广阔的莱昂哈德·欧拉到生性好斗的约翰·伯努利，以及最世俗的文艺复兴时期的人物杰罗拉莫·卡尔达诺，不一而足。了解这些数学家的不同经历，有助于我们更好地理解他们的工作成果。

第三部分，即本书的重点，是在这些“数学杰作”中所表现出的创造性。不读名著，无从理解；不观名画，无从体味。同样，如果不去认真地、一步一步地钻研这些证明方法，也不可能真正掌握这些伟大的数学定理。而要理解这些定理，就必须全神贯注，加倍努力。本书各章仅仅为理解这些定理梳理线索。

这些数学的里程碑还具有一种永世不灭的恒久性。在其他学科，今天流行的时尚，往往明天就被人遗忘。一百多年前，沃尔特·司各特爵士还是当时英国文学界中最受尊重的作家之一，而今天，人们对他已淡忘。20世纪，超级明星们匆匆来去，转瞬即成历史，而那些旨在改变世界的观念，最终却常常变成思想垃圾。

的确，数学的口味时常也会改变。但是，严格遵循逻辑的限定条件而得到完美证明的数学定理则是永恒的。公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明，丝毫未因时光的流逝而丧失它的美与活力。相比之下，古希腊时期的天文学理论或医术却早已变成陈旧而有点可笑的原始科学了。19世纪的数学家赫尔曼·汉克尔说得好：

就大多数学科而言，一代人摧毁的正是另一代人所建造的，而他们所建立的也必将为另一代人所破坏。只有数学不同，每一代人都是在旧的建筑物上加进新的一层。

从这一点来看，当我们探讨伟大数学家历久弥新的成果时，就能够逐渐体会奥利弗·亥维赛精辟的论说：“逻辑能够很有耐性，因为它是永恒的。”

在选择最能体现数学精髓的这些定理时，我考虑了许多方面的因素。如前所述，我首要考虑的是找到具有深刻见解或独创性的论题。当然，这里有一个个人好恶的问题，我承认，不同的作者肯定会选取不同的定理。除此之外，能够直接看到数学家通过巧妙的演绎，将看似深奥的问题变得清晰易懂，确实是一种不同寻常的经历。据说，聪明人能够战胜困难，而天才则能够战胜不可能。显而易见，本书将呈现许多天才。这里有真正的经典——数学界的《蒙娜丽莎》或《哈姆雷特》。

当然，选择这些定理也有其他方面的考虑。首先，我希望本书能够包含历史上主要数学家的定理。例如，欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉必不可少。忽略这些数学人物，犹如研究美术史而不提伦勃朗或塞尚的作品一样。

其次，为求丰富多彩，我兼顾了数学的各个分支。书中的命题来自平面几何、代数、数论、分析学和集合论等各个领域。各种分支，以及它们之间的偶然联系和相互影响，为本书增添了一些新鲜的气息。

我还希望能在本书中展示重要的数学定理，而不仅仅是一些小巧的智力题。实际上，本书的大部分定理或者解决了长期存在的数学问题，或者提出了意义深远的问题留待未来解决，或者二者兼而有之。每一章的结尾处都有后记，一般都会论证一个由该伟大定理提出的问题，同时会介绍其在数学史上的影响。

现在再跟大家说一说难度深浅的问题。显然，数学有许多伟大的里程碑，其深度和难度只有专家可以理解，而所有其他人都会感到莫测高深。在一本针对一般读者的书中引入这些定理是十分愚蠢的。只要具备高中代数和几何知识即可理解本书所论述的定理。但有两处例外，一是第9章在讨论欧拉的工作成果时应用了三角学中的正弦曲线，二是第7章在讨论牛顿的工作成果时应用了初等微积分。许多读者可能已经掌握了这些知识，而对于那些尚未掌握这些知识的读者，本书做了一些解释，以帮助他们克服阅读中的困难。

必须强调，本书不是一本学术著作。一些重大的数学问题或微妙的历史问题当然不可能在这种书中一一述及。虽然我尽力避免编入一些错误的或历史上不准确的材料，但这里也不是对所有问题的所有方面刨根问底的时间和场合。毕竟，本书是一本大众读物，不是科学著作或新闻报道。

就此，我必须对定理证明的真实性说几句。在准备写这本书的时候，我发现，为了让现代读者能够理解这些数学资料，我不得不对定理创始人最初使用的符号、术语和逻辑战略做一些变通。完全照搬原作会使一些定理非常难于理解，但严重偏离原作又与我的历史目标相冲突。总之，我尽力保留了定理原作的全部要旨和大量细节。我所作的修改并不严重，在我看来，不过就像是用现代乐器演奏莫扎特的乐曲一样。

因此，我们即将开始两千年的数学里程之旅。这些定理虽然古老，但在历经许多个世纪之后，却依旧保持着一种新鲜感，依旧能展现古人的精湛技艺。我希望读者能够理解这些证明，并能够领会这些定理的伟大之处。对于达到这一境界的读者，我希望他们不仅会对他人的伟大之处肃然起敬，还会因为能够理解大师著作而增加成就感。

致谢  我在编写本书时，曾得到过许多机构和个人的帮助，谨在此表示感谢。首先，我要感谢私人企业和公共部门提供的宝贵赠款：利利捐赠基金有限公司提供的1983年夏季津贴，以及美国国家人文基金会为1988年题为“历史上的数学经典定理”夏季研讨会提供的资金。利利捐赠基金有限公司和美国国家人文基金会的支持，使我得以归纳以往对数学史的散乱兴趣，从而形成在汉诺威学院和俄亥俄州立大学教授的系统课程。

我衷心感谢俄亥俄州立大学，特别是数学系，在我作为客座教员编写本书时所给予我的热情支持。数学系主任约瑟夫·费拉尔以及琼·莱泽尔和吉姆·莱泽尔，在我任客座教员的两年期间，一直给予我有力的帮助和支持，对此，我永志不忘。

许多个人也为本书提供了帮助。感谢图书馆管理员鲁思·埃文斯在我1980年休假期间为我提供了1900年以前的数学资料汇编；感谢美国国家人文基金会的史蒂文·泰格纳和迈克尔·霍尔对本书之前夏季研讨会提出的良好建议；感谢卡罗尔·邓纳姆的热情和鼓励；感谢俄亥俄州立大学的艾米·爱德华兹和吉尔·鲍默–皮纳为我介绍麦金托什文字处理系统的细节；感谢威利公司编辑凯瑟琳·肖沃尔特、劳拉·卢因和史蒂夫·罗斯对一个初出茅庐的作者的宽容；感谢全美最有权威的发言人之一，鲍灵格林州立大学的V.弗雷德里克·里基提出的观点，即数学也像其他学科一样具有不容忽视的历史；感谢巴里·A.西普拉和韦斯特蒙特学院的拉塞尔·豪厄尔对本书手稿所作的大有裨益的仔细审查；感谢汉诺威学院的乔纳森·史密斯在出版前的最后阶段提出的编辑意见。

我应特别感谢彭尼·邓纳姆，她为本书绘制了插图，并就书的内容提出了许多宝贵建议。彭尼是一位非凡的数学教师，在共同主办美国国家人文基金会赞助的研讨会期间，她是一位不可替代的同仁，同时，她也是我的支持者、顾问、夫人和可以想象到的最好朋友。

最后，我要特别感谢布伦丹和香农两位大师。

威廉·邓纳姆

俄亥俄州哥伦布市

随着康托尔的超限基数轰鸣着走向无限的无穷大，我们结束了欣赏伟大数学杰作的旅程。这是一个漫长的旅程——从希俄斯的希波克拉底一直到20世纪，我希望这个旅程能够以强大的演员阵容和出色的表演给读者留下深刻的印象。这是一段非常值得讲述的故事。

我们在第4章讨论拉马努金时曾提到过GH哈代，他对数学证明中的美学有一种敏锐的嗅觉。哈代认为，真正伟大的定理应该具有三个特点，即精练、必然和意外。我认为，我们在本书所讨论的这些定理恰恰就能代表这些性质。欧几里得对素数无穷性的证明堪称简明、优雅和“精简”。约翰·伯努利的一系列无穷级数必然推导出调和级数的发散性，所以，犹如人们在讲到阿基米德的数学时所说的那样：“只要看上一眼，你就立刻相信，本来你也能够发现它。”我们讨论的许多命题，从月牙形的化方求积，到三次方程的可解，以及乔治·康托尔所发现的一切，都是令人感到非常意外的。总之，我希望哈代会认可我所选择的这些“伟大定理”。

最后，我将以两段引文作为本书的结语，这两段引文尽管相距1500年，但却传达了几乎完全一样的思想。第一段引文出自5世纪的希腊评注家普罗克洛斯之手：

因此，这就是数学：她赋予自己的发现以生命；她令思维活跃，精神升华；她烛照我们的内心；消除了我们与生俱有的蒙昧与无知。

在本书的前言开篇中曾引述过20世纪伯特兰·罗素的一段话，最后，我再引述他的另一段话。罗素认识到数学中的美，他像其他任何人一样，尽力刻画这种美。我最后引述他的一段评论，希望它能够代表读者对书中这些数学杰作的反应：

恰当地说，数学不仅拥有真理，还拥有极度的美——一种冷静和朴素的美，犹如雕塑的美那样，没有吸引我们脆弱本性中的任何部分的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣，但是，却显示了高尚的纯粹，以及只有在最伟大的艺术中才能表现出来的严格的完美。

“Dunham的这本书如此特别，是我以前从未遇到过的……娓娓道来的一个个推理精巧与颇具洞察力的个案，引人入胜。”

——Isaac Asimov

“这门几乎每个人都觉得沉闷、无聊、呆板的学科，在Dunham的笔下充满生机与活力……我是拥有计算机学位的外行，但是我喜欢这本书……Dunham巧妙地将数学中的伟大定理编织成数学史，使得本书容易理解，而且我敢说，事实上很有趣味性！本书是一颗珍宝，每一个爱好数学的人都不能与它失之交臂。”

——Amazon读者评论

“推荐给所有热爱探索、思想活跃的人们，不管他们感兴趣的是艺术还是科学，阅读本书都是一次重要的文化体验。”

——Ian Stewart，《自然》杂志

“……一本非常特殊的数学书，是继E.T.贝尔1937年所著的《数学人物》之后的又一优秀大众读物。”

——《洛杉矶时报》