爱尔特希，德国著名数学家，有着“现代的欧拉”、“数学莫扎特”之美称。本书用深入浅出、通俗易懂的语言，介绍了数论、图论、组合论等数学分支和爱尔特希所做出的杰出贡献。此外，还讨论了爱尔特希及其好友对数学、数学美的深刻见解，以及他们的数学哲学观点。

本书深入浅出、通俗易懂地介绍了数论、图论、组合论等数学分支和爱尔特希所做出的杰出贡献。此外，还讨论了爱尔特希及其好友对数学、数学美的深刻见解，以及他们的数学哲学观点。

引 子     

第一章 青春的步伐    

 1．少年数学梦     

 2．布达魔术师     

 3．故国山河在     

 4．人生十字路     

第二章 英伦三岛谱新章   

 1．曼彻斯特博士后    

 2．爱尔特希与柯召    

 3．抽屉原理巧妙用    

第三章 另一个房顶另一个证明  

 1．普林斯顿站     

 2．忙碌的岁月     

 3．数学理性美     

 4．游子归故里     

第四章 神奇的数字   

 1．人生识数数论起    

 2．人类思维的花朵    

 3．整数的原子——素数    

 4．辉煌力作硕果累    

第五章 天下谁人不识君   

 1．耶城情未了     

 2．名师出高徒     

 3．数学的“圣经”    

 4．爱公的“保姆”    

第六章 数学的巨人    

 1．牌照拉姆齐     

 2．装箱最优解     

 3．随机图论兴     

 4．慈母与游子     

 5．爱尔特希数     

 6．现代的欧拉     

 7．数学莫扎特    

第七章 点线的乐章   

 1．漫游河桥图论兴    

 2．极图、交图与极集    

 3．哈密顿图货郎担    

 4．四色问题终告捷    

 5．集成电路平面图    

 6．图论猜想比高强    

第八章 再生仍故我   

 1．数学是什么     

 2．数坛的怪侠     

 3．魂归巴拿赫     

 4．畴人为哪般     

若·干·补·充    

参考文献    

编后记

美丽的多瑙河发源于德国境内的黑林山，它起源于一条清澈见底的小溪，沿途逐渐汇入诸多支流，横穿欧罗巴，成为欧洲第二大河。在地势复杂的山区，河水穿越深山险谷，白浪滔滔，汹涌澎湃，怪石奇峰，蔚为壮观；在地势平坦的平原，河水潺谖，轻盈飘逸，风景如画。古往今来，不知有多少人用动听的歌曲、迷人的诗画、神奇的传说歌颂它、赞美它。圆舞曲之王约翰·施特劳斯的一曲《蓝色多瑙河》，更令人心驰神往、浮想联翩。

多瑙河一水流八国，一河连三都。匈牙利首都布达佩斯就是多瑙河上的一颗明珠。多瑙河从布达佩斯穿过，西岸的布达山峦起伏，东岸的佩斯平坦开阔，两者之间以桥梁相连，构成了一幅奇特的景象，是世界上少有的美丽的双子城市。

15世纪后成为匈牙利首都的布达，是名副其实的山城。向阳的山坡上有星罗棋布的别墅、绿树掩映的疗养院和幽雅静谧的科研机构；背阴的山坡上树木葱郁、曲径通幽，在银装素裹的冬季，这里是滑雪者的天堂。布达的城堡山是布达佩斯的发祥地，其古堡遗迹至今犹存。平坦的山顶上有许多教堂的古建筑，那些富有浪漫情调的小阁楼、别具一格的小庭院随处可见。有些小酒店、餐馆里古风犹存，有些店铺门前几百年前的铁制招牌依然如故，路边的铁铸灯柱托着菱形嵌玻璃路灯，古色古香，饶有情趣。城堡山上最大的名胜是布达皇宫，它曾是欧洲最辉煌的王宫之一，19世纪修复扩建为一组富丽堂皇的新巴洛克式建筑群，充分展现了匈牙利的悠久历史和建筑艺术，现辟为博物馆。

流经此处的多瑙河中有著名景区玛尔吉特江心岛。岛上古木参天，泉水喷涌，风光迷人。玛尔吉特是古代匈牙利国王贝拉四世的公主，她曾向上帝许愿，如果父王出征能无恙生还，她甘愿出家修行。现在岛上还留有她当年苦度终生的修道院。

佩斯是匈牙利全国的政治、经济中心。宽阔平坦的繁华街道，花团锦簇的街心公园，处处车水马龙、行人如织。林荫道环绕的内城是老佩斯的中心，这里是政府机关和议会的所在地，也是博物馆和高等学府的聚集区。

秀丽的多瑙河穿城而过，八座各具形态的大桥犹如长虹卧波，把隔河相望的布达与佩斯连接在一起。节日的夜晚，无数彩灯勾画出大桥的雄姿，倒映在河中，与两岸万家灯火交相辉映，美不胜收。伊丽莎白桥东侧的广场上耸立着爱国诗人裴多菲的塑像，神采奕奕，英气勃勃，仿佛正在朗诵追求自由的千古名句：生命诚可贵，爱情价更高，若为自由故，二者皆可抛。

1913年3月26日，春风吹绿多瑙河两岸。布达佩斯一家医院里，一阵婴儿的啼哭意味着一个新生命的诞生。保罗·爱尔特希，这位20世纪的数学大师降临人世。母亲安娜不顾产后的疲惫，睁大双眼爱怜地望着心爱的儿子。然而，天有不测风云，世事实难预料。爱尔特希的两个姐姐，3岁的克拉娜和5岁的玛格达，因为感染上败血性猩红热竟于爱尔特希出生的当天双双死去。爱尔特希的母亲在一天当中，悲喜交集，心情可想而知。此后，她一直不谈论两个爱女的事。

出生后的爱尔特希和成千上万个婴儿一样，饿了吃奶，困了睡觉，不满就哭，高兴就笑。他逐渐会爬会坐会站立，在大人的帮助下，渐渐学会了走路。与此同时，从喊妈妈开始咿呀学语，都会说话了。小爱尔特希眼中的世界充满了母爱温情，到处是阳光鲜花，然而世界却不向爱尔特希微笑，灾难又一次无情地不请而至。

1914年6月，奥匈帝国大军进入波斯尼亚，举行酝酿已久的军事演习。奥匈皇储斐迪南大公亲临现场指挥演习，公然将塞尔维亚等作为假想敌，决心有朝一日吞并塞尔维亚。演习结束后，斐迪南在波斯尼亚首府萨拉热窝遇刺身亡。

德奥集团乘机推波助澜，挑起第一次世界大战。战争是政治的继续，经济力量增强的帝国主义要求重新瓜分殖民地。政治家们、统治阶级纷纷用冠冕堂皇的词句、激动人心的口号欺骗本国人民奔赴战场，“保卫祖国”、“拯救民族”，真是“边庭流血成海水，武皇开边意未已”。

爱尔特希的父亲拉乔斯本是一介书生，却无端卷入了这场战争，穿上军装扛起枪，随军东进，与沙俄军队交战。岂料大战爆发没多久，他在爱尔特希一岁半时，便在一场战斗中被俘，随即被遣送至人迹罕至的西伯利亚。1917年，苏维埃红色政权夺取江山；1918年，第一次世界大战以同盟国德奥集团的失败而告终。拉乔斯得以重见天日，返回故乡。

几经生死，久别重逢，一切仿佛在梦中。小爱尔特希平日里整天缠着妈妈要爸爸，今日相见，视同陌路。在妈妈的再三催促下，他才怯生生地喊了一声：“爸爸!”“好儿子，我们再也不分开了，这场该诅咒的战争!”拉乔斯弯腰抱起朝思暮想的儿子。一家三口互相依偎着，百感交集。久违的欢笑声又在家里响起。

爱尔特希的父母都是中学数学教师，其家庭可算是书香门第，且家境优裕，雇有佣人；父母又很宠爱他。11岁时，爱尔特希才生平第一次自己弯腰系鞋带；直到21岁，在赴英国读博士后之前，他吃的面包总是由母亲或佣人替他涂上黄油。他从未尝试动手做饭炒菜，甚至连沏茶的水也未烧过，他的烹调技术仅是理论上的。他自己说：“我能做出极好的冷麦片粥，也许还会煮鸡蛋，只是我从未试过。”真是饭来张口，衣来伸手，油瓶倒了也不扶。父母的万般宠爱无形之中导致爱尔特希日后缺乏生活自理能力。

爱尔特希是一个数学奇才，3岁时就能心算三位数的乘法。4岁时，他独立发现了负数。他曾津津有味地回忆起当时的情景：“我告诉母亲，如果你从100里取出250，就得到负150。”由于希腊数学排斥负数，丢番图就只承认方程的正有理数解。负数自15世纪在欧洲被提出，当时的数学家大都持反对态度。韦达建议取消负数；帕斯卡则认为较小的数减去较大的数，特别是零减去一个数，纯属一派胡言；有人更振振有词地反对负数，-1：1=1：-1是不可思议的，因为-1小于1，那么较小的数与较大的数之比，怎么能等于较大的数与较小的数之比呢?罪魁祸首就在负数。争议一直延续到19世纪，仍有人专门撰文反对使用负数，认为负数只会把原本明显简单的东西搞得晦涩难懂……列举这些史料，并无丝毫嘲笑这些千古留名的数坛英杰之意，只不过想说明人类探索真理、获取知识的艰难和循序渐进的过程。按照认知心理学的观点，一个人的认识过程与人类的认识历程有相似之处。让一个小学生过早地接触负数恐怕是不明智的，而爱尔特希在4岁时就发现了负数。这样的数学天赋是不多见的。

也许是一朝被蛇咬，十年怕井绳的缘故，母亲担心爱尔特希感染上儿童易患的传染病，重蹈爱女的覆辙，决意不让爱尔特希上学。匈牙利的学制是小学4年、中学8年。在上中学前，他一直呆在家中，由父母给他传授知识。即使进了中学，由于母亲始终忧心忡忡，拿不定主意，他也是上一年停一年。当然，这并不意味着父母让爱尔特希在家里随心所欲，为所欲为。虽不在学校，但学习并未停止。直到他17岁进人大学之前，他所接受的教育主要是在家庭中完成的。爱尔特希本人宣称他从当数学教师的父母那里学习了大量的初等数学知识。

犹太人古称希伯来人，与阿拉伯人、迦南人同属西亚闪族人后裔，曾共同生息于迦南(即今巴勒斯坦)，公元前11世纪末建立了最早的犹太人国家——希伯来王国。在大卫和所罗门执政时期，国力强盛，始建耶路撒冷城和犹太教圣殿。后来分裂为北面的以色列王国和南面的犹太王国。大卫王不但是一位骁勇多谋的军事领袖，也是一位雄才大略的政治家；他还多才多艺，相传《圣经·诗篇》中的不少诗歌就出自他手；他擅长韵律，琴技高超，扑克牌中的黑桃K便是大卫王。而“以色列”的名称则来自一则有趣的神话：希伯来人的祖先(酋长)是亚伯拉罕，其孙雅各有一次与天使摔跤，一整夜未分胜负，被耶和华赐名“以色列”，即与神角力之意。

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一位老人，年逾古稀，头发花白，面容憔悴，螺旋状的连鬓胡子在脸上张成一种奇特的角度，一副式样普通的深度近视眼镜架在鼻梁上。他身材不高，穿着随便，毫不讲究。他经常上身着一件灰色细条的茄克衫，下身穿一条深色的裤子，足登一双匈牙利产的皮鞋。这双鞋式样独特，鞋底布满麻窝，是为其平足和衰弱的肌腱而特制的。他四处游历，行李仅是一只很不起眼的手提箱，或许还外加一个印有“布达佩斯购物中心”字样的橙色塑料袋。手提箱里装着他的全部家当，其中一台硕大无朋的收音机占据了箱内的部分空间。

这位老人风尘仆仆，不辞辛劳，四处奔波，周游世界。以哈佛大学、麻省理工学院著称于世的文化中心波士顿，以《独立宣言》闻名遐迩的费城，密执安湖畔“五一”国际劳动节的起源地芝加哥，枫叶红遍的加拿大第一都市蒙特利尔，到处留下了老人的足迹。他行色匆匆，也许在一个月内，他会马不停蹄地出现在英伦三岛的雾都伦敦，万里之外的澳大利亚，神秘莫测的宗教圣地耶路撒冷，多瑙河畔的璀璨明珠布达佩斯……

他既不是眼观六路、耳听八方、机灵多变、生财有道的推销商，也不是流连于世界胜地、寄情于名山大川的游客。

有人称赞他是“现代的欧拉”。数学界公认有史以来对数学贡献最大的四位数学家是阿基米德、牛顿、高斯和欧拉。欧拉的论著浩如烟海，研究面广，一生的著作多达886篇(部)，平均每年写出800页左右精湛深刻的学术著述。估计“欧拉全集”若要出版，将不得不超过100卷。  

有人情不自禁地将他比作“数学界的莫扎特”。世界著名作曲家莫扎特，他的音乐作品洋溢着诗情画意，充满了一种难以企及的美。著名钢琴家傅聪评价莫扎特的音乐是“无艺术的艺术”，每一个细节都是那么自然，天衣无缝，看不出剪接的痕迹，像是信手拈来。

有人敬佩地称他为“西方的拉马努金”。印度数学家拉马努金才华出众，数学思想独树一帜，经常凭借直觉获得许多掷地有声的数学结果。对于欧美数学家而言，他的思想代表着另一个流派、另一个世界，两者相得益彰，犹如强调整体综合特征的中国文化与以细节分析见长的西方文化的互补互融。

也有人为其非凡的数学才思、过人的解题技巧所折服，称其为“布达佩斯的魔术师”。

他的很多独创词汇，诸如“圣经”、“SF'’、“8”、“布道”等不胫而走，被西方数学界兴趣盎然地传诵引用，人所共知。

他的座右铭“另一个房顶，另一个证明”，成为他几十年生活工作的生动写照，他深受到同行的尊敬和爱戴。

他的合作伙伴遍及全球，多达500人，数学界称他的论文合作者为具有爱尔特希数1的人。

他和华裔数学家陈省身同时荣获1983—1984年度世界级数学大奖——沃尔夫奖。

这就是匈牙利数学家保罗·爱尔特希(Paul：Erd6s)。他1913年3月26日生于布达佩斯一个数学教师家庭，犹太人。1996年9月，在华沙举行的国际数学会议上，因心脏病发作，这位一代大师撒手而去，终年83岁。

数学家研究抽象艰深的数学理论，甚至终身为解决一个问题而殚精竭虑。人们敬佩他们超群绝伦的聪明才智，赞叹他们经年累月的刻苦勤奋。可是，难免有人会随口发问：数学于经济何价?数学对人生何益?数学对社会何用?

许多数学家都淡泊名利，痴迷数学，其中不乏著作等身、硕果累累者，然而本书的主人公爱尔特希又是如何从众多数学家中脱颖而出?凭借什么被人们誉为“现代的欧拉”，“数学界的莫扎特”，“布达佩斯的魔术师”，数坛的一位“怪侠”?  他无职业、无家小，四处飘游，居无定所。每到一地，衣、食、住、行全靠主人费心，却总受到当地数学家们的热情欢迎，这又是为什么呢?

在多年的学习思考，尤其是在编著本书的一年多的日日夜夜中，这些问题反反复复、不由自主地在我的脑海里浮现，相信读者会从本书的字里行间获得相应的答案。

我们希望将爱尔特希的才智、勤奋及献身数学的精神如实地展现在读者的眼前。我们尽量深入浅出、通俗易懂地介绍数论、图论、组合论等数学分支和爱尔特希所做出的杰出贡献。我们还讨论爱尔特希及其好友对数学、数学美的深刻见解，以及他们的数学哲学观点。

我们相信，莘莘学子会从爱尔特希光辉的一生中汲取力量，为把中国建设成为21世纪的数学强国而添砖加瓦。我们希望更多的青年读者能把数学作为一门科学，作为一门艺术，作为一种智慧，作为一种文化，从而学好数学，用好数学，力争成为新世纪的栋梁之才。

在我研读数学史的过程中，发觉西方数学家常常发自内心地感受到数学之美：爱尔特希开口闭口“漂亮”、“美好”，他认为数学是科学和艺术的完美结合；古希腊人为庆贺勾股定理的发现举行了盛大的百牛宴；在柏拉图的理念世界里，美是高层次的观念。

我国学生往往体察不到数学美，不少人对数学“积怨”颇深。

张奠宙教授曾语重心长地指出：“数学界长期被一个悖论困扰着。一方面，数学被公认是最基本、最重要、最有用的学科，因而是学的时间最长、考试次数最多的学科。另一方面，数学又是社会上最少了解、最多误解、最被忽视的学科。……在一次调查中，70岩的人说‘不喜欢数学乃至厌恶数学’，80岩的人说‘数学除了加、减、乘、除之外没啥用处’。”仅仅将此归咎于升学考试、题海战术的负面效应恐怕是不够的，追根溯源，我国的文化积淀中缺少数学美。古代中国的皇帝是“天子”，因此编订历法是皇家自身的大事，严禁私人染指。数学家为皇家编制历法，成则皇恩浩荡，败则丢官下牢，整日诚惶诚恐，如履薄冰，如此这般，快乐美感从何而来!

《数学家传奇丛书》主编杜瑞芝教授给我来信，邀我编写爱尔特希分册。我曾在有关刊物上发表过评介爱尔特希的译文、论文，多少有些资料的积累、研究的心得。爱尔特希沉醉于数学，忘情于数学，著作等身，声名显赫，他的传奇生涯、感人事迹一直深深地吸引着我。经过必要的信函往来后，我就动笔开始写作了。

9月份完成了初稿，主编认真审阅后，提出了修改意见。经过两个月的工作，二稿业已脱手，与初稿相比，在编写体例上作了较大改动。

我于1968年从南京大学毕业后，整整10年和数学无缘。70年代末，到了知天命的人生阶段，奋起直追，虽已陆续发表论文十几篇，写书却是头一回。尽管追寻美好人生足迹的本身是美好的，尽管付出的努力是艰辛的，但写作本身也许永远是遗憾的劳动。限于水平，书中的不足乃至失误在所难免，敬请专家读者指正。

本书取名《数坛怪侠——爱尔特希》，所谓“怪”无非是奇怪、怪僻之意。细细剖析，爱尔特希之怪，大致有三：

其一，大家往东，他偏向西。别人在餐桌旁举杯叙旧，口尝佳肴，他却无精打彩，进入梦乡；别人饶有兴致地观赏戏剧电影，他却低头沉思数字图形，如此等等，不一而足。这种与众不同，是他献身数学、忘情于数学的自然流露。爱尔特希在数学的天地里，仿佛与笔下的数和形浑然一体，物我两忘；仿佛置身于宁静的田园山庄，“明月松问照，清泉石上流”；又仿佛登临名山大川，“气蒸云梦泽，波撼岳阳城”。一切的一切是如此的美好，其他的都无关紧要了。

其二，不屑功名富贵，不谙人情世故。依他的家境学历、才能人品，和绝大多数颇有名望的科学家一样，成家立业，过上至少中产阶级的生活显然是不在话下的。然而他没有职业，没有妻小，没有嗜好，甚至没有一个家。讲学著述的酬劳，甚至沃尔夫奖的5万美元，他慷慨地救人于危难，悬赏于解题。格雷厄姆说：“他对任何事情都竭尽绵力。”他视私人财产是累赘，毫无意思。他从不追求物质享受，无暇顾及婚姻家庭，绝少过问凡人俗事。这一切都源于他对理性的数学之美的执着追求。

其实匈牙利数学家群体中，终生独身的并非爱尔特希一人，费耶尔、F.里斯、M.里斯、哈尔、D.柯尼希等，均不约而同地选择了独身道路。F.里斯甚至期望他的助教卡尔曼也把一切都献给数学，不要结婚成家。

其三，可以谅解的无知，可以理解的怪僻。他整天埋头于数学，远离世俗，从小衣来伸手，饭来张口，因此缺乏起码的生活自理能力，不会用洗衣机，不知道米饭出自何处。每到一处，全靠主人为他当“保姆”，替他料理生活，整理房间，查询电话号码，驾车送他会友谈数学，甚至帮他清洗衣物。我们并不提倡像他这样的生活方式，但是这种情况的出现仍然是由于爱尔特希始终如一的人生使命，对美妙的数学问题和新奇的数学技巧的永无止境的追求。他并不像剥削阶级那样，不劳而获坐享其成。数学家们欢迎他的光临，心甘情愿地照料他的饮食起居，是因为他们在与爱尔特希的数学交流与合作中常常获益匪浅。这是一种双方认可的“等价交换”。其实，在真正献身于科学的学者身上，这种爱尔特希式的奇闻逸事不胜枚举。这是否可以讲“圣人如孩”呢?

本书得以问世，首先要感谢张奠宙教授。自1988年去华东师范大学进修一年，张奠宙教授的渊博知识，不凡见识，言传身教，提携后生给我留下了深刻难忘的印象。十几年来，张奠宙教授在许多方面给了我很多具体的帮助，直至在我写书的过程中，他看到有关的资料主动复印寄来。佟文廷教授、罗定军教授是我的母校——南京大学的老师，在我的学习研究上同样给过无微不至的关心。佟文廷教授在患有足疾行走不便难以外出复印资料的情况下，为及时提供资料，连夜奋笔手抄，令人感动不已。朱梧梗教授、杜瑞芝教授、肖奚安教授、过伯祥副教授等良师益友也在多方面给予过指导和帮助。借此机会，一并表示深深的谢意。

在本书的写作过程中，得到作者所在单位(南通职业大学)的领导的关怀与理解，不少同志放弃休息为我寻找资料，打印书稿，在此对他们表示深切的感谢。

朱见平

于南通职业大学