数学家的眼光和普通人的眼光不同：在常人看来十分繁难的问题，数学家可能觉得很简单；常人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂。张景中院士从中学生熟悉的问题入手，通俗生动地介绍了数学家是如何从这些简单的问题中，发现并得出不同凡响的结论的。《数学家的眼光》讲的不是解某一类数学题的技巧，它告诉读者的是思考数学问题的思路和方法，重在帮助读者全面提高解决数学问题的能力。《数学家的眼光》被中外专家誉为是一部具有世界先进水平的科普佳作。

《数学家的眼光》是张景中教授献给世界数学家大会的礼物，也是他送给青少年最好的礼物。张景中教授的这本书是在80年代初到90年代中完成的。可是这些作品至今仍有很强的生命力，仍在数学科普创作中处于领先地位，完全可以走向世界。书中不少地方的推导方法、叙述方式是张景中教授思考所得，有些与其的科研题目有关。

温故知新

 三角形的内角和

 了不起的密率

 会说话的图形

 从鸡兔同笼谈起

 定位的奥妙

正反辉映

 相同与不同

 归纳与演绎

 精确与误差

 变化与不变

巧思妙解

 椭圆上的蝴蝶

 无穷远点在哪里

 用圆规画线段

 佩多的生锈圆规

 自学青年的贡献

青出于蓝

 圈子里的蚂蚁

 三角形里一个点

 大与奇

 不动点

偏题正做

 洗衣服的数学

 叠砖问题

 假如地球是空壳

 地下高速列车

见微知著

 珍珠与种子

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用圆规画线段

你能用圆规画一条线段吗？

也许你不假思索地回答：怎么可能呢？

不错，圆规是画圆用的，线段是直的。圆规不能画线段是意料之中的事。

但是，问题里只说“用圆规”，没说怎么用法，这就有空子可钻了。

一种可能的回答是：把圆规当铅笔用，配合直尺或三角板，不是可以画线段了吗？

要堵住这个空子，就要说明只许用圆规，不许用直尺或类似的可以代替直尺用的东西。比如，一支圆规当铅笔，另一支圆规放倒当直尺，都是不允许的。

另一种回答：把圆规的针脚在纸上立定，用手迅速地把有笔头的那一支“脚”向外拉，岂不画出一条线段了吗？

这个答案不能通过。因为谁也无法保证这样拉出来的线是真的直线段，它可能有一点肉眼看不出来的弯曲。

第三种回答：用半径很大的圆规画短短的一段弧，这弧就几乎是直线段了。

确实，如果用半径为及的圆规画出一小段弧，当弧所对的弦长是20时，用勾股定理可以求出弧的拱高为比如当圆规半径为1米时，画一段弦长1厘米的弧，则拱高大致为还不到1毫米的50分之一。肉眼看去，这段弧和线段当然没什么区别了。

但是，题目要的是数学上的严格的线段，不是看上去的线段。大半径的圆弧固然很接近线段，但究竟不是真的线段啊！

这么说，这个题目还有办法回答吗？

不要沮丧。本来几乎无法回答的问题，现在居然凑凑合合地给出了三个答案。虽然都不能令人满意，但毕竟还是有收获的。

要是继续想，就必须把题目弄得更严密一些。所谓“用圆规画一条线段”，具体含义是：圆规的针脚在画线过程中不能动(这就否定了第一种答案)，圆规的两脚距离在画线过程中不能变(否定了第二种答案)，要画真正的线段而不是画近似的线段(第三种答案也被否定了)。

在这种种限制之下，圆规的笔头活动的轨迹是什么呢？

限制在乎面上，只能是圆。

如果摆脱了平面的限制，笔头在空间活动，它的轨迹是球面。可是球面上有线段吗？

想到这里，似乎已走上绝路。但是，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。新的思想往往在似乎面临绝境的时候产生。

既然圆规的笔尖只能在球面上活动，而球面上又没有线段，可见所要的线段不可能直接画出来：它只能是画好之后再变化出来的。

想到变化，思路就宽了。

图形画在纸上，把纸卷成圆筒，直线就成了曲线。反过来，当圆筒展开成平面的时候，圆筒上的曲线，也可能变成直线！

球面是不能展平的。但球面上的某些曲线可以放到圆筒上，而圆筒却可以展开。

办法有了。拿一个茶缸来，里面放一片不大不小的圆卡片。圆规的针脚扎在卡片的中心，再在茶缸的内侧壁贴上一张纸。转动圆规，在茶缸里进行“空间作图”，在茶缸内侧的纸上画圆。把贴在茶缸内侧的纸揭下来，看，纸上是一条规规矩矩的线段！

戏法变过，亮出奥秘，就显得平淡无奇了。但是，再动脑筋，还能举一反三。

线段好比是半径无穷大的圆弧。空间作图后展开，小小的圆规能画出半径无穷大的圆弧。那么，固定半径的圆规，能画出半径更小的圆弧吗？比方说：半径定为10厘米的圆规，能画出半径为5厘米的半圆吗？

应当是可以的。因为半径为10厘米的球面上，有着许多半径不超过10厘米的圆。问题是怎样把它画到纸上。

有个办法你不妨试试：找一个方形的木盒子或厚纸板盒子，在底部的内棱上取两点A、B，使AB=10厘米。在底上取一点O，使△OAB是正三角形。以O为心，用半径固定为lO厘米的圆规画圆。开始在底面爬墙吧。它在墙上画的恰好是半径为5厘米的半圆

道理很简单。设AB的中点是M。圆规的笔尖画到盒子内壁上任一点P，则空间的三角形△OMP和盒底的三角形△OMA全等。因为它们都是直角三角形，又有相等的斜边OA=OP和公共边OM。于是MP=MA。这表明APB是半径为AM的半圆！

调整OM的大小，可以在盒子的侧壁上画出半径不同的半圆。

数学需要幻想，初看起来荒谬绝伦的问题，大胆地追索下去，未必没有实实在在的收获。P83-89