本书的目的是向自动化及相关学科的研究生、青年教师及科研人员介绍近代数学，选材以与系统控制关系密切的分析、代数及几何知识为主线，兼顾数学自身的内在逻辑与严谨性，作者希望本书能使仅具有工程数学基础的青年学者迅速掌握近代数学的工具，以满足阅读相关文献和从事自动化理论研究的需要。

除密切联系自动化学科的需求外，本书也注意为读者展示数学的百花园，例如，证明用尺规三等分任意角是不可能的，证明五次方程没有公式解，介绍什么是选择公理、Zorn引理、超限归纳法、连续统假定、罗素悖论、四色问题、费马大定理与椭圆曲线、庞加莱猜想、黎曼猜想……

读完这本书，你或许会发现，你登上了一个新的高度，有一个新的视野看世界……

本书根据自动化学科系统科学与现代控制理论研究前沿的现状与需求介绍有关的近代数学的基础知识。内容包括实变函数与泛函分析、抽象代数、拓扑学、微分流形与黎曼几何、代数几何等。作者致力于将理科专业的若干主要近代数学基础课程结合系统与控制理论深入浅出地综合成自动化专业的一门数学课程。这是一种探索。本书的内容强调数学学科自身的结构与严密性，同时，以系统科学与控制理论相关文献中出现和使用较多的数学了具为主，以满足阅读文献和从事系统与控制理论科学研究的需要。

本书的阅读对象为有志于理论研究的自动化及相近专业工科研究生及青年教师。

前言

符号说明

第1章 数学与系统控制

 1.1 数学和它的学科结构

 1.2 系统与控制理论

 1.3 建模、控制与优化中的数学方法

 1.4 注释与参考

 习题

第2章 测度与积分

 2.1 集合与势

 2.2 实数及其完备性

 2.3 实数域R中的开集和闭集

 2.4 R中的测度论

 2.5 可测函数

 2.6 概率测度与Hausdorff测度

 2.7 勒贝格积分(Ⅰ)—有界可测函数情形

 2.8 勒贝格积分(Ⅱ)—非负可测函数情形

 2.9 勒贝格积分(Ⅲ)—一般可测函数情形

 2.10 勒贝格积分与黎曼积分的关系

 2.11 不定积分

 2.12 Rn上的勒贝格可测集和勒贝格积分

 2.13 注释与参考

 习题

第3章 泛函空间与线性算子

 3.1 距离空间

 3.2 赋范线性空间

 3.3 内积空间

 3.4 有界线性算子

 3.5 有界线性泛函和伴随算子

 3.6 线性算子的基本理论

 3.7 有界线性算子的正则集和谱集

 3.8 紧算子的谱理论

 3.9 Sobolev空间

 3.10 注释与参考

 习题

第4章 点集拓扑

 4.1 空间上的拓扑结构

 4.2 映射、同胚空间、子空间

 4.3 分离与联通性

 4.4 紧空间

 4.5 乘积空间、商空间

 4.6 注释与参考

 习题

第5章 群、环、域

 5.1 群与子群

 5.2 群同态、群同构

 5.3 环

 5.4 域和域的扩张

 5.5 伽罗瓦理论(Ⅰ)—伽罗瓦群

 5.6 伽罗瓦理论(Ⅱ)—代数方程的解

 5.7 注释与参考

 习题

第6章 拓扑空间的代数特征

 6.1 拓扑空间的同伦

 6.2 基本群

 6.3 复叠空间

 6.4 范畴与函子

 6.5 单纯形与单纯复形

 6.6 同调群

 6.7 注释与参考

 习题

第7章 流形上的几何学

 7.1 微分流形

 7.2 纤维丛

 7.3 流形上的向量场

 7.4 李导数

 7.5 分布的积分

 7.6 李群与李代数

 7.7 非线性系统的几何理论

 7.8 注释与参考

 习题

第8章 张量场、黎曼几何与辛几何

 8.1 张量及其运算

 8.2 流形上的张量场

 8.3 黎曼几何

 8.4 辛几何

 8.5 哈密顿系统

 8.6 注释与参考

 习题

第9章 代数几何初步

 9.1 多项式、平面曲线与仿射代数集

 9.2 Zariski拓扑

 9.3 正则函数与态射

 9.4 线性系统的实现

 9.5 注释与参考

 习题

附录 矩阵的半张量积

参考文献

名词索引