本书从微分方程的基本概念讲起，然后分别介绍了常微分方程、常微分方程组和偏微分方程的初步理论。本书特点一是使用大量具有不同学科背景的实例，着重讲述它们在数学建模中的应用，二是介绍了如何使用计算机来求解微分方程。特别是很多章节后都专门安排了本章节的应用部分。介绍了MATLAB，Mathematica和Maple在微分方程中的应用。本书还精选了大量有趣的习题。我们相信，无论是学生还是研究人员，阅读这本教材后一定会被它的理论、广泛的应用材料和计算机技术的使用所吸引，并从中找到学习的乐趣。

本书以一些实际问题为背景，借助于数学软件Maple，Mathematica及MATLAB，利用符号运算、图像表示和数值解方法等手段，系统地介绍了（线性与非线性）微分方程的基本概念和基本方法。通过40多个实际模型的讨论，使读者对建模、求解、分析解所反映的性质这一过程进行全面的了解。利用Maple，Mathematica及MATLAB软件在图形显示、符号计算、数值计算方面的功能，定性地分析了微分方程解的性质，500余幅图将方向场、解曲线、相平面等概念形象直观地表示出来。另外，书中选配了1900余道习题供读者使用。

本书可作为学生学习数学建模或微分方程的学生参考书。对于从事计算与建模的科技人员，也具有很高的参考价值。

第1章 一阶微分方程

 1.1 微分方程与数学模型

 1.2 通解和特解的积分形式

 1.3 方向场和解曲线

 1.4 分离变量方程与应用

 1.5 一阶线性微分方程

 1.6 替换方法和恰当方程

 第1章总复习题

第2章 数学模型与数值方法

 2.1 人口模型

 2.2 平衡解与稳定性

 2.3 加速度一速度模型

 2.4 数值逼近：欧拉方法

 2.5 再论欧拉方法

 2.6 龙格一库塔方法

第3章 高阶线性微分方程

 3.1 介绍：二阶线性方程

 3.2 线性方程的通解

 3.3 具有常系数的齐次方程

 3.4 机械振动

 3.5 非齐次方程和待定系数法

 3.6 受迫振动和共振

 3.7 电路

 3.8 端点问题和特征值

第4章 微分方程组简介

 4.1 一阶方程组及应用

 4.2 消元法

 4.3 方程组的数值方法

第5章 线性微分方程组

 5.1 矩阵和线性方程组

 5.2 齐次方程组的特征值法

 5.3 二阶方程组及力学应用

 5.4 多重特征值解

 5.5 矩阵指数和线性方程组

 5.6 非齐次线性方程组

第6章 非线性方程组及现象

 6.1 稳定性及相位平面

 6.2 线性和殆线性方程组

 6.3 生态模型：捕食者与竞争者

 6.4 非线性机械系统

 6.5 动力系统中的混沌

第7章 拉普拉斯变换法

 7.1 拉普拉斯变换和逆变换

 7.2 初值问题的变换

 7.3 平移和部分分式

 7.4 变换的导数、积分和乘积

 7.5 周期的和分段连续的输入函数

 7.6 脉冲函数和艿函数

第8章 幂级数方法

 8.1 幂级数的复习和介绍

 8.2 靠近寻常点的级数解

 8.3 正则奇点

 8.4 弗罗贝尼乌斯方法：特别情况

 8.5 贝塞尔方程

 8.6 贝塞尔函数的应用

第9章 傅里叶级数方法

 9.1 周期函数和三角级数

 9.2 一般傅里叶级数及收敛性

 9.3 傅里叶正弦和余弦级数

 9.4 傅里叶级数的应用

 9.5 热传导和变量的分离

 9.6 振动弦和一维波动方程

 9.7 稳定状态温度和拉普拉斯方程

第10章 特征值和边值问题

 10.1 施图姆一刘维尔问题和特征函数展开

 10.2 特征函数级数的应用

 10.3 稳定周期解和固有频率

 10.4 柱坐标问题

 10.5 高维现象

附录A 解的存在性和惟一性

A1 解的存在性

A2 线性方程组

A3 局部存在性

A4 解的惟一性

A5 理想问题和数学模型

参考文献