本书重点对前苏联莫斯科电机学院1976年的一道数学竞赛题给出六种不同的证明。然后推广到n个数和讨论概率的一般情况，完成了依概率P1，P2，P3轮换平均三数列、依概率P1，P2，P3，P4轮换平均四数列、依概率P1，P2，P3，P4，P5轮换平均五数列的证明，以此作为遵循波利亚学习方法的一种尝试。怎样学习数学，如何才能深入，是一个永远常青的课题。现在把作者在这方面的实践，通过若干经典问题的另类演算，达到帮助读者深刻理解、灵活运用某数学思想的目的。希望能够提高读者学习数学的兴趣，增强读者克服困难的能力和信心。同时，作者认为数学是一门严谨和发现性紧密结合的科学，青年学生加强数学基础训练，对后续的创新性发展是一种强有力的支持。

前苏联大学生数学竞赛题有不少经典性的题目，学生对这些题目的学习是一项重要的基础训练，并将长期起作用。本书从其中一些题目出发给出多种证明，然后从纵横多个侧面推广讨论，以理解题目深刻的数学思想，使数学的各种基本工具能灵活运用，进一步巩固对数学知识的掌握和理解。对严格的数学证明及意想不到的解题思想感兴趣的广大读者、数学相关专业的学生以及所有对数学有兴趣的人，都可将本书作为参考读物。

1.数列的极限是算术平均值的不同证明

 (1)由三个数导出的特定数列

 (2)由n个数导出的特定数列

 (3)n个数的另一种定义的特定数列

 (4)非等概情况下6个数导出的特定数列

 (5)依概率P1，P2，P3轮换平均三数列

 (6)依概率P1，P2，P3，P4轮换平均四数列

 (7)依概率P1，P2，P3，P4，P5轮换平均五数列

2.复变函数f(z)=1/z-sin z的奇点的讨论

3.双纽线旋转体计算

4.发光点对定球生成的阴影圆锥

5.空间二直线的距离

6.双曲线与椭圆的距离

7.上限含积分参数的分部积分法

8.从积分定义出发证明解题

9.对《微积分学教程》中的一个错误的更正

10.深化对“证明不等式■的认识

11.用变限积分法、积分第二中值定理解题

12.完全按照夹逼定理要求的纯分析的证明

13.多变量函数的条件极值

14.赫尔窦不等式和哈达马不等式的证明

15.求行列式的值及求逆阵的三种方法

16.轮回行列阵和催化因子

参考文献