本书内容包括各种重要的分布和随机过程、大数定律、中心极限定理、无穷可分分布、半群方法与无穷可分分布和马尔可夫过程的关系、更新理论、随机游动及傅里叶方法的应用、拉普拉斯变换及其应用、特征函数以及调和分析等19章内容。本书既可作为概率论及相关学科的教学参考书，亦可作为相关科学研究的引导书。

本书是威廉·费勒的著作《概率论及其应用》第1卷的续篇。 曾经影响了包括中国在内的世界各国几代概率论及其相关领域的学生和研究者。 即使用今天的标准来衡量，该书仍是一本经典佳作。 本书包括各种重要的分布和随机过程、大数定律、中心极限定理、无穷可分分布、半群方法与无穷可分分布和马尔可夫过程的关系、更新理论、随机游动及傅里叶方法的应用、拉普拉斯变换及其应用、特征函数以及调和分析等19章内容。 　　本书既可作为概率论及相关学科的教学参考书，亦可作为相关科学研究的引导书。

第1章　指数密度与均匀密度　

1.1　引言　

1.2　密度和卷积　

1.3　指数密度　

1.4　等待时间的悖论，泊松过程　

1.5　倒霉事的持续时间　

1.6　等待时间与顺序统计量　

1.7　均匀分布　

1.8　随机分裂　

1.9　卷积与覆盖定理　

1.10　随机方向　

1.11　勒贝格测度的应用　

1.12　经验分布　

1.13　习题　

第2章　特殊密度和随机化　

2.1　符号与约定　

2.2　Г分布　

*2.3　与统计学有关的分布　

2.4　一些常用的密度　

2.5　随机化与混合　

2.6　离散分布　

2.7　贝塞尔函数与随机游动　

2.8　圆上的分布　

2.9　习题　

第3章　高维密度、正态密度与正态过程　

3.1　密度　

3.2　条件分布　

3.3　再论指数分布和均匀分布　

*3.4　正态分布的特征　

3.5　矩阵记号，协方差矩阵　

3.6　正态密度与正态分布　

*3.7　平稳正态过程　

3.8　马尔可夫正态密度　

3.9　习题　

第4章　概率测度与概率空间　

4.1　贝尔函数　

4.2　区间函数与在Rr上的积分

4.3　σ代数和可测性　

4.4　概率空间和随机变量　

4.5　扩张定理　

4.6　乘积空间和独立变量序列　

4.7　零集和完备化　

第5章　Rr中的概率分布　

5.1　分布与期望　

5.2　预备知识　

5.3　密度　

5.4　卷积　

5.5　对称化　

5.6　分部积分，矩的存在性　

5.7　切比雪夫不等式　

5.8　进一步的不等式，凸函数　

5.9　简单的条件分布，混合　

*5.10　条件分布　

*5.11　条件期望　

5.12　习题　

第6章　一些重要的分布和过程　

6.1　R1中的稳定分布

6.2　例　

6.3　R1中的无穷可分分布　

6.4　独立增量过程　

*6.5　复合泊松过程中的破产问题

6.6　更新过程　

6.7　例与问题　

6.8　随机游动　

6.9　排队过程　

6.10　常返的和瞬时的随机游动　

6.11　一般的马尔可夫链

*6.12　鞅　

6.13　习题　

第7章　大数定律，在分析中的应用　

7.1　主要引理与记号　

7.2　伯因斯坦多项式，绝对单调函数　

7.3　矩问题　

*7.4　在可交换变量中的应用

*7.5　广义泰勒公式与半群　

7.6　拉普拉斯变换的反演公式　

*7.7　同分布变量的大数定律　

*7.8　强大数定律　

*7.9　向鞅的推广　

7.10　习题　

第8章　基本极限定理　

8.1　测度的收敛性　

8.2　特殊性质　

8.3　作为算子的分布　

8.4　中心极限定理　

*8.5　无穷卷积　

8.6　选择定理　

*8.7　马尔可夫链的遍历定理　

8.8　正则变化　

*8.9　正则变化函数的渐近性质　

8.10　习题　

第9章　无穷可分分布与半群　

9.1　概论

9.2　卷积半群　

9.3　预备引理　

9.4　有限方差的情形　

9.5　主要定理　

9.6　例：稳定半群　

9.7　具有同分布的三角形阵列　

9.8　吸引域　

9.9　可变分布，三级数定理　

9.10　习题　

第10章　马尔可夫过程与半群　

10.1　伪泊松型　

10.2　一种变形：线性增量　

10.3　跳跃过程　

10.4　R1中的扩散过程　

10.5　向前方程，边界条件　

10.6　高维扩散　

10.7　从属过程　

10.8　马尔可夫过程与半群　

10.9　半群理论的“指数公式”　

10.10　生成元，向后方程　

第11章　更新理论　

11.1　更新定理　

11.2　更新定理的证明　

*11.3　改进　

11.4　常返更新过程　

11.5　更新时刻的个数Nt　

11.6　可终止(瞬时)过程　

11.7　各种各样的应用　

11.8　随机过程中极限的存在性　

*11.9　全直线上的更新理论　

11.10　习题　

第12章　R1中的随机游动　

12.1　基本的概念与记号　

12.2　对偶性，随机游动的类型　

12.3　阶梯高度的分布，维纳-霍普夫因子分解　

12.4　例　

12.5　应用　

12.6　一个组合引理　

12.7　阶梯时刻的分布　

12.8　反正弦定律　

12.9　杂录　

12.10　习题　

第13章　拉普拉斯变换，陶伯定理，预解式　

13.1　定义，连续性定理　

13.2　基本性质　

13.3　例　

13.4　完全单调函数，反演公式　

13.5　陶伯定理　

*13.6　稳定分布　

*13.7　无穷可分分布　

*13.8　高维情形　

13.9　半群的拉普拉斯变换　

13.10　希尔-吉田定理　

13.11　习题　

第14章　拉普拉斯变换的应用　

14.1　更新方程：理论　

14.2　更新型方程：例　

14.3　包含反正弦分布的极限定理　

14.4　忙期与有关的分支过程　

14.5　扩散过程

14.6　生灭过程与随机游动　

14.7　科尔莫戈罗夫微分方程　

14.8　例：纯生过程　

14.9　遍历极限与首次通过时间的计算　

14.10　习题　

第15章　特征函数　

15.1　定义，基本性质　

15.2　特殊的分布，混合　

15.3　唯一性，反演公式　

15.4　正则性　

15.5　关于相等分量的中心极限定理　

15.6　林德伯格条件　

15.7　高维特征函数　

*15.8　正态分布的两种特征　

15.9　习题　

第16章*　与中心极限定理有关的展开式　

16.1　记号　

16.2　密度的展开式　

16.3　磨光　

16.4　分布的展开式　

16.5　贝利-埃森定理　

16.6　在可变分量情形下的展开式　

16.7　大偏差　

第17章　无穷可分分布　

17.1　无穷可分分布　

17.2　标准型，主要的极限定理　

17.3　例与特殊性质　

17.4　特殊性质　

17.5　稳定分布及其吸引域　

*17.6　稳定密度　

17.7　三角形阵列　

*17.8　类L　

*17.9　部分吸引，“普遍的定律”　

*17.10　无穷卷积　

17.11　高维的情形　

17.12　习题　

第18章　傅里叶方法在随机游动中的应用　

18.1　基本恒等式　

*18.2　有限区间，瓦尔德逼近　

18.3　维纳-霍普夫因子分解　

18.4　含义及应用　

18.5　两个较深刻的定理　

18.6　常返性准则　

18.7　习题　

第19章　调和分析　

19.1　帕塞瓦尔关系式　

19.2　正定函数　

19.3　平稳过程　

19.4　傅里叶级数　

*19.5　泊松求和公式　

19.6　正定序列　

19.7　L2理论

19.8　随机过程与随机积分　

19.9　习题　

习题解答　

参考文献　

索引