本书是作者在从2000年开始给伦敦帝国理工学院研究生讲授统计力学的讲稿基础上形成的。

复杂性是21世纪的重点研究课题之一，而临界状态则是统计物理中已有相当深入研究的一个分支，本书旨在采用统计力学的方法，以渗滤和伊辛模型为范例，讨论突破复杂性研究的途径。全书共分3章，第一章讲述渗滤现象的研究方法，并就一维、二维渗滤的定义、点阵结构、块体的大小和数密度、关联函数、标度函数、临界指数和实空间重整化群的变换方法等方面都作了详尽的介绍。第二章的重点是讲述二维伊辛模型的相变理论，涉及相互作用自旋系统的自由能和配分函数、磁化强度和磁导率、能量和比热、响应函数、平均场理论、相变的朗道ˉ京茨堡理论、Widom标度假设、临界指数和W ilson重整化群论。第三章介绍自组织临界状态。本章从容易想象的所谓“沙堆”模型出发，讨论沙堆崩塌的物理处理方法，从中引入开放系统的平均场理论、二分叉理论和几率分布的矩分析、定态出现的条件等。本章还就地震和降雨的预测预报作了定性讨论。

全书每章之后都有专门设计的练习，为了降低解题难度，每道题都细分为很多小题目，使解题思路十分明确。

本书旨在采用统计力学的方法，以渗滤和伊辛模型为范例，讨论突破复杂性研究的途径。全书共分3章，第一章讲述渗滤现象的研究方法，并就一维、二维渗滤的定义、点阵结构、块体的大小和数密度、关联函数、标度函数、临界指数和实空间重整化群的变换方法等方面都作了详尽的介绍。第二章的重点是讲述二维伊辛模型的相变理论，涉及相互作用自旋系统的自由能和配分函数、磁化强度和磁导率、能量和比热、响应函数、平均场理论、相变的朗道ˉ京茨堡理论、Widom标度假设、临界指数和W ilson重整化群论。第三章介绍自组织临界状态。本章从容易想象的所谓“沙堆”模型出发，讨论沙堆崩塌的物理处理方法，从中引入开放系统的平均场理论、二分叉理论和几率分布的矩分析、定态出现的条件等。

Preface

1. Percolation

1.1 Introduction

1.2 Percolation in d=1

1.3 Percolation on the Bethe Lattice

1.4 Percolation in d=2

1.5 Cluster Number Density- Scaling Ansatz

1.6 Scaling Relations

1.7 Geometric Properties of Clusters

1.8 Finite-Size Scaling

1.9 Non-Universal Critical Occupation Probabilities

1.10 Universal Critical Exponents

1.11 Real-Space Renormalisation

1.12 Summary

Exercises

2. Ising Model

2.1 Introduction

2.2 System of Non-Interacting Spins

2.3 Quantities of Interest

2.4 Ising Model in d = 1

2.5 Mean-Field Theory of the Ising Model

2.6 Landau Theory of the Ising Model

2.7 Landau Theory of Continuous Phase Transitions

2.8 Ising Model in d = 2

2.9 Widom Scaling Ansatz

2.10 Scaling Relations

2.11Widom Scaling Form and Critical Exponents in d = 1

2.12 Non-Universal Critical Temperatures

2.13 Universal Critical Exponents

2.14 Ginzburg Criterion

2.15 Real-Space Renormalisation

2.16 Wilson's Renormalisation Group Theory

2.17 Summary

Exercises

3. Self-Organised Criticality

3.1 Introduction

3.2 BTW Model in d = 1

3.3 Mean-Field Theory of the BTW Model

3.4 Branching Process

3.5 Avalanche-Size Probability- Scaling Ansatz

3.6 Scaling Relations

3.7 Moment Analysis of Avalanche-Size Probability

3.8 BTW Model in d = 2

3.9 Ricepile Experiment and the Oslo Model

3.10 Earthquakes and the OFC Model

3.11 Rainfall

3.12 Summary

Exercises

Appendix A Taylor Expansion

Appendix B Hyperbolic Functions

Appendix C Homogeneous and Scaling Functions

Appendix D Fractals

Appendix E Data Binning

Appendix F Boltzmann Distribution

Appendix G Free Energy

Appendix H Metropolis Algorithm

Bibliography

List of Symbols

Index