本书是高等学校计算机专业规划教材之一，全书分为集合论、近世代数、图论、数理逻辑四个部分，内容涉及集合、关系、映射、无限集合及其势、代数系统等，适合高校相关专业学生学习使用。

本书分4篇，共11章。第1篇是集合论，内容包括集合、关系、映射、无限集合及其势；第2篇是近代代数，内容包括代数系统，半群、独异点及群，环、体、域，以及格与布尔代数；第3篇是图论；第4篇是数理逻辑，内容包括命题逻辑和谓词逻辑。附录中给出了离散数学在计算机类专业课中的应用。

本书语言简洁，对知识的归纳总结精辟，有利于培养学生的抽象思维和逻辑思维能力。为了教学方便，作者可为选用本书作为教材的教师免费提供习题解答。

本书可作为普通高等学校计算机及相关专业本科层次的教材，也可供研究生参考。

         第1篇 集合论

第1章 集合

1.1集合的概念与表示法

1.1.1集合的概念

1.1.2特殊集合

1.1.3集合的表示法

习题1.1

1.2集合之间的关系

1.2.1包含关系与子集

1.2.2相等关系

1.2.3真包含与真子集

1.2.4幂集

1.2.5集族与总族

1.2.6一种辅助分析集合与集合元素之间关系的有效方法

习题1.2

1.3集合的运算

1.3.1基本运算

1.3.2文氏图

1.3.3运算性质

1.3.4对运算定律的否定的证明方法

习题1.3

1.4笛卡儿积

1.4.1序对

1.4.2笛卡儿积(叉积)

1.4.3运算性质

习题1.4

1.5有限集合的基数

习题1.5

1.6数学归纳法与自然数

1.6.1归纳定义

1.6.2自然数

1.6.3归纳证明

习题1.6

1.7语言上的运算

1.7.1串及其运算

1.7.2语言及其运算

1.7.3语言的闭包及其性质

习题1.7

第2章 关系

2.1二元关系

2.1.1关系的概念

2.1.2关系的特例

2.1.3关系的域

2.1.4关系矩阵与关系图

习题2.1

2.2具有特殊性质的关系

2.2.1自反性

2.2.2反自反性

2.2.3对称性

2.2.4反对称性

2.2.5传递性

习题2.2

2.3复合关系与逆关系

2.3.1复合关系

2.3.2复合运算的矩阵实现及图解

2.3.3复合幂运算的图解

2.3.4逆关系

2.3.5复合运算和逆运算与集合运算的关系

习题2.3

2.4关系的闭包运算

2.4.1闭包的概念

2.4.2闭包的性质

2.4.3闭包的复合

习题2.4

2.5等价关系与集合的划分

2.5.1等价关系

2.5.2集合的划分

2.5.3等价关系与集合划分的联系

习题2.5

2.6相容关系与覆盖

2.6.1覆盖

2.6.2相容关系

2.6.3极大相容类的求法

2.6.4相容关系与覆盖之间的联系

习题2.6

2.7序关系

2.7.1拟序关系(半序、准序)

2.7.2偏序关系(部分序)

2.7.3哈斯图

2.7.4元素的大小与子集的界

2.7.5全序与良序

习题2.7

第3章 映射

3.1映射的基本概念

3.1.1映射的概念

3.1.2单射、满射和双射

3.1.3两映射相等

3.1.4规范映射

3.1.5f诱导的等价关系

3.1.6二元运算

习题3.1

3.2映射的复合和逆

3.2.1映射的复合

3.2.2逆映射

习题3.2

3.3归纳定义映射

习题3.3

3.4变换和置换

3.4.1基本概念

3.4.2置换的性质

3.4.3轮换(循环置换)

3.4.4轮换的性质

习题3.4

3.5特征函数与模糊子集

3.5.1集合的特征函数

3.5.2模糊子集

习题3.5

第4章 无限集合及其势

4.1无限集合及其势简介

4.1.1有限集与无限集

4.1.2势与等势

习题4.1

4.2可数集

习题4.2

4.3势比较与连续统假设

4.3.1不可数集的存在及连续统

4.3.2势比较

4.3.3势的无限性和连续统假设

习题4.3

4.4势算术

习题4.4

           第2篇 近世代数

第5章 代数系统

5.1运算及运算律

5.1.1运算

5.1.2运算律

5.1.3特殊元素

5.1.4特殊元素的性质

习题5.1

5.2代数系统

5.2.1代数系统(代数结构)

5.2.2子代数系统

习题5.2

5.3同态与同构

5.3.1同类型的代数系统

5.3.2同态与同构的概念

5.3.3同态性质

习题5.3

5.4同余关系

习题5.4

5.5商代数与积代数

习题5.5

5.6自然同态与同态三角形

习题5.6

第6章 半群、独异点和群

6.1半群

6.1.1半群

6.1.2子半群

6.1.3循环半群

6.1.4半群同态

习题6.1

6.2独异点

6.2.1独异点

6.2.2子独异点

6.2.3循环独异点

6.2.4独异点同态

习题6.2

6.3群

6.3.1群的概念

6.3.2群的性质

6.3.3群的阶及元素的阶

6.3.4低阶实际群

习题6.3

6.4子群

习题6.4

6.5变换群、置换群和循环群

6.5.1变换群

6.5.2置换群

6.5.3循环群

习题6.5

6.6群同态与同构

6.6.1群同态

6.6.2群同构

6.6.3同态核

习题6.6

6.7陪集及拉格朗日定理

习题6.7

6.8正规子群及群同态三角形

6.8.1正规子群

6.8.2商群

6.8.3群同态三角形

习题6.8

第7章 环、体、域环

7.1.1环的基本概念

7.1.2环的性质

7.1.3子环

习题7.17.2环同态、理想和商环

7.2.1环同态

7.2.2同余关系与理想

7.2.3商环

7.2.4环同态三角形

习题7.2

7.3体和域

7.3.1体和域的概念

7.3.2体和域的简单性质

7.3.3商体和商域

习题7.3

第8章 格与布尔代数

8.1格

8.1.1格的概念

8.1.2格的基本性质

8.1.3低阶实际格

8.1.4格——代数系统

习题8.1

8.2特殊格

8.2.1有界格

8.2.2有补格

8.2.3分配格

习题8.2

8.3布尔代数

8.3.1布尔代数的概念及基本性质

8.3.2子布尔代数

8.3.3布尔环

习题8.3

8.4布尔同态

8.4.1布尔同态的概念及简单性质

8.4.2布尔代数表示定理

习题8.4

8.5布尔表达式与布尔函数

8.5.1布尔表达式的基本概念

8.5.2布尔表达式的范式及分类

8.5.3布尔函数

8.5.4如何求范式

        第3篇 图论

第9章 图论

9.1基本概念

习题9.1

9.2子图与同构

习题9.2

9.3路与回路

习题9.3

9.4可达与连通

习题9.4

9.5图的矩阵表示

习题9.5

9.6欧拉图与汉密尔顿图

习题9.6

9.7二分图与匹配

习题9.7

9.8平面图

习题9.8

9.9对偶图与着色

习题9.9

9.10无向树

习题9.10

9.11有向树

习题9.11

          第4篇 数理逻辑

第10章 命题逻辑

10.1命题及联结词

10.1.1命题

10.1.2联结词

习题10.1184

10.2命题公式与恒等公式

10.2.1命题公式

10.2.2恒等公式

习题10.2

10.3联结词的扩充与归约

10.3.1联结词的扩充

10.3.2联结词的归约

习题10.3

10.4永真式与蕴含式

10.4.1永真式及其性质

10.4.2恒等式的性质

10.4.3蕴含式

习题10.4

10.5代入与置换、对偶

10.5.1代入规则

10.5.2置换规则

10.5.3用代入和置换规则证明的实例

10.5.4对偶原理

习题10.5

10.6范

10.6.1范式的概念

10.6.2范式的性质

10.6.3如何求主范式

习题10.6

10.7推理规则及证明方法

10.7.1推理理论

10.7.2证明方法

10.7.3演绎证明原理

10.7.4演绎证明的具体方法

习题10.7

第11章 谓词逻辑

11.1谓词与量词

11.1.1谓词

11.1.2量词

11.1.3个体域

11.1.4如何将一个具体命题符号化

习题11.1

11.2谓词公式及变元的约束

11.2.1谓词公式

11.2.2变元的约束

习题11.2

11.3谓词演算的恒等式、永真式和蕴含式

11.3.1谓词演算的恒等式

11.3.2谓词演算的永真式及蕴含式

11.3.3实例

习题11.3

11.4谓词逻辑的代入与置换规则

11.4.1代入规则

11.4.2置换规则

11.4.3对偶原理

11.5前束范式和Skolem范式

11.5.1前束范式

11.5.2Skolem范式

习题11.5

11.6谓词逻辑的推理规则

11.6.1术语“A(x)对y是自由的”的意义

11.6.2谓词逻辑中的推理规则

11.6.3实例

习题11.6

附录A“离散数学”在其他课程中的应用列表

参考文献