每个人都熟悉所谓“小世界现象”：当你遇见一个陌生人交谈不久之后，往往会惊奇地发现：“原来我们有共同的朋友!”或者说，仅通过几个熟识的人，我们就早已经相互联系在一起了，在这本书中，邓肯·瓦茨将这种有趣的现象——俗称“六度分离” ——作为研究更一般现象的引子即证明了：在某种特定的条件下，小世界现象会出现在任何一种类型的网络之中。

每个人都熟悉所谓“小世界现象”：当你遇见一个陌生人交谈不久之后，往往会惊奇地发现：“原来我们有共同的朋友!”或者说，仅通过几个熟识的人，我们就早已经相互联系在一起了，在这本书中，邓肯·瓦茨(Duncan watts)将这种有趣的现象——俗称“六度分离” (six degrees of separation)——作为研究更一般现象的引子即证明了：在某种特定的条件下，小世界现象会出现在任何一种类型的网络之中。

能够作为这一研究素材的网络无所不在：大脑是一个神经网络；社会上的组织是人际网络；全球的经济是国民经济组成的网络，国民经济又是市场组成的网络，而市场则是相互作用的生产者和消费者组成的网络。食物链、生态系统以及因特网也都表现出网络特征。此外，解决某一问题的策略，一次谈话中的主题，甚至一种语言中的词汇都能够形成某种意义上的网络。作者断言，这些网络都将归为“小世界网络”。

这类网络是如何作用的呢?简单地说，是局部行为导致了全局性的结果，而局部动态特性和全局动态特性之间的关系，则主要依赖于网络的结构，瓦茨利用多种简单的模型阐明了这一关系的微妙之处，这些模型包括：人群中传染病的传播；博弈论中合作的演化；元胞自动机(即Cellutar Automata，CA)的计算能力以及耦合相位振子的同步等等。

瓦茨将这种新颖的研究方法应用于很多与网络连通性以及复杂系统的一般行为有关的问题，例如，疾病(或谣言)是如何通过社会网络传播的?在大规模的团体中，合作是如何演化的?在巨大的电力网或者金融系统中，故障或震荡是如何传播的?对一个组织或者一个通讯网络而言，什么样的体系结构最为高效?这项使人入迷的研究将对很多截然不同的领域产生深远的影响，这些领域包括物理学、数学，以至社会学、经济学和生物学。

序言

第1章 从凯文·贝肯和小世界说起

第一部分 结构

第2章 小世界现象纵览

 2.1 社会网络与小世界

2.1.1 小世界研究简史

2.1.2 现实世界中的困难

2.1.3 普遍意义下的再思考

 2.2 图论背景

2.2.1 基本定义

2.2.2 长度和长度尺度

2.2.3 邻域和分布序列

2.2.4 聚类

2.2.5 “格图”和随机图

2.2.6 图的维数和嵌入

2.2.7 聚类系数的另一种定义

第3章 大世界与小世界：图模型

 3.1 关系图

3.1.1 α-图

3.1.2 一个简化模型：β-图

3.1.3 捷径与压缩：模型的恒定性

3.1.4 引入更多的统计量

 3.2 空间图

3.2.1 均匀空间图

3.2.2 高斯空间图

 3.3 要点回顾

第4章 论述与思考

 4.1 走向极端

4.1.1 连通的卡夫曼世界

4.1.2 作为随机图近似的摩尔图

 4.2 关系图中的过渡

4.2.1 局部长度尺度和全局长度尺度

4.2.2 长度和长度尺度

4.2.3 聚类系数

4.2.4 压缩

4.2.5 结果以及与β-模型的比较

 4.3 空间图中的过渡

4.3.1 空间长度与图的长度

4.3.2 长度和长度尺度

4.3.3 聚类

4.3.4 结果和比较

 4.4 空间图和关系图的变体

 4.5 要点回顾

第5章 “终究是个小世界”：三幅实际的图

 5.1 构造贝肯图

5.1.1 图形分析

5.1.2 比较

 5.2 供电网络

5.2.1 分析系统

5.2.2 比较

 5.3 虫子的眼界

5.3.1 分析系统

5.3.2 比较

 5.4 其他系统

 5.5 要点回顾

第二部分 动力学

第6章 结构人口中传染病的传播

 6.1 对疾病传播研究的简短回顾

 6.2 分析和结果

6.2.1 对问题的介绍

6.2.2 永久去除动力学

6.2.3 暂时去除动力学

 6.3 要点回顾

第7章元 胞自动机中的全局计算

 7.1 背景介绍

 7.1.1 全局计算

 7.2 图上的元胞自动机

7.2.1 密度分类问题

7.2.2 同步问题

 7.3 要点回顾  

第8章 小世界中的合作——图中博弈

 8.1 背景介绍

8.1.1 囚徒困境

8.1.2 空间囚徒困境

8.1.3 N人囚徒困境

8.1.4 策略的演化

 8.2 同质群体中合作的涌现

8.2.1 推广的针锋相对

8.2.2 去输存赢

 8.3 异质人群中合作的演化

 8.4 要点回顾

第9章 耦合相位振子族群中的全局同步

 9.1 背景介绍

 9.2 图中的藏本由纪振子

 9.3 要点回顾

第10章 结束语

注释

参考书目

索引

译后记

回答第一章提出的问题——一个稀疏连通的大型网络中，元素相互“连接”的最一般的条件是什么?——的方法之一，是用不同的图模型(models of graphs)做实验。图是恰当的结构，因为在现阶段，“系统”元素的本质并不重要——重要的是它们连接的方式。现在我们对被称为d-格和随机图的这两类具体图形的特征已经有了一些了解。更明确的说，我们已经用公式表示出1-格(具有偶数度k)的长度和聚类系数，并对有关随机图的长度和聚类特性作了一些讨论。根据它们的长度特性，以下论点似乎是合理的，即这两类图是“全体”处于完全关联一维结构和完全不关联的高维结构(当然，假设我们只考虑连通的结构)之间可能的拓扑结构中的极限情况，那么，我们的计划就是仔细考察处于这两类极限情况“之间”的可能的拓扑结构，并顺着这一思路看看是否有些有趣的情况出现。

P42

我的发言将会很简短，但还没有萨尔瓦多·达利(salvador Dali)曾作过的演讲那样简洁。那是世界上最短的演讲。“我的演讲将会很简短，”他说，“就这些。”然后他就坐下了。

   ——E．O．威尔逊(E．O．Wilson)在宾州毕业典礼上的讲演

大概是三年前，我开始了关于这个课题的研究。在伊萨卡岛，又是一个寒冷的隆冬，我怀着忐忑不安和几乎绝望的心情走进史蒂夫·斯特罗加茨(Steve Strogatz)的办公室。当时我正在做博士论文，主要内容是关于昆虫叫声的自然同步问题，确切地讲，就是研究蟋蟀。在这个过程中，我遇到了一些值得深思的问题，在蟋蟀这个特殊的种群内，雄性夜夜呜叫来吸引配偶，结果它们变成了同频共鸣器。也就是说，每个蟋蟀在听到他的“兄弟们”的啁啾后，都相应地调整它自己的音频，最后整个群体就形成了共鸣。但令我百思不得其解的问题是：究竟谁听谁的呢?大部分人可能认为：在同一棵树上的蟋蟀们，都彼此互相倾听；而另一种说法则是：它们可能只注意与它最邻近的单个竞争者的叫声；当然，更可能的是以上两种情况的更为复杂的结合。无论如何，它们是怎样互相联系起来的呢?或者说，整个蟋蟀群体是怎样在旁若无物地做着同一件事的呢?我当然无法回答这些问题，估计其他人也很难了解。与此同时，我也正在思考我父亲曾对我说过的事，他曾对我说：“你知不知道，你与美国总统之间只有六次握手的距离?”我当时无法理解父亲的话，但那听起来确实很有趣，于是我开始思考怎样才能证明这个问题。最后，有两个想法浮现在我的脑海中：一是结合耦合振子系统的动力学，另一个则涉及我后来所理解的所谓“小世界现象”(small—world phenomenon)，但这更多的只是一个梦想而不是一个研究课题。尽管如此，在11月的那一天，我还是把这个想法告诉了我的导师：我们为什么不试图描绘出这样一个世界，其中人与人都只相隔几次握手的距离，并且进一步研究这对于类似系统的动态特性有什么意义呢?

我知道，一旦证明这个想法值得研究，那么这项研究将跨越若干不同的学科，而其中的许多学科都是我和史蒂夫先生不甚了解的。我也清楚，我还有不到两年就毕业了，因此，当我以懵懂少年的热情，像一个受了惊吓的小男生结结巴巴地说出我的想法时，我想他一定会笑着让我离开，或者拍拍我的头，让我去做一些更切实可行的事情。然而让我吃惊的是，史蒂夫很喜欢这个想法，而且同意我对它进行研究，他说：“我们都是聪明的家伙……我们会研究出成果的”。我们确实这样做了，我们之问所教所学的，与其说是在完成博士论文，不如说是一次冒险。这是一项我神往已久的研究课题。但是，如果没有那次见面，如果没有史蒂夫这个特别的导师，这段人生旅程将会在孕育的过程中夭折。其实，我感激史蒂夫·斯特罗加茨的原因还有很多，而这次研究的起步是其中最为关键的。

当然，任何真正的旅程，即使是你一个人单独地走过，其成功都与那些无私地给予你恩典与帮助的人密不可分，他们除了欣慰以外，一无所求。他们之中，我首先要感谢的是理查德·兰德先生(Richard Rand)和戴夫·德尔夏普斯先生(Dave Delehamps)，感谢他们帮助我坚持完成了两个导师的课程和三个迥然不同的研究课题：他们的坚韧、耐心和大度给了我很大的鼓舞与激励。并且，衷心感谢弗兰克·穆恩(Frank Moon)这些年来的慷慨与宽容；衷心感谢比尔·霍姆斯(Bill Holmes)先生，他的帮助使我的研究不断深入；衷心感谢戴夫·什莫伊(Dave Shmoys)，马克·休伯(MarkHuber)，布雷特·恰登(Brett Tjaden)，吉姆·索普(JimThorp)，克鲁伊·贝(Koetmyi Bae)，马丁·沙尔菲(Martin Chalfie)，乔尔·科恩(Joel Cohen)，尼克·特雷费森(Nick Trefethen)以及梅拉妮·米切尔(Melanie Mitchell)等对本书部分章节给予的莫大的帮助。我还特别要感谢凯文·麦克尤恩先生(KevinMacEwen)一直以来默默倾听我的抱怨，并在我最需要帮助的时候，帮助我摆脱困境。我无法用言语来表达我对家人和朋友们的谢意，如果没有他们善意的批评以及他们带给我的欢乐，我可能会陷入更深的对抽象事物的沉思当中。说了这么多，还要万分感谢哈里森·怀特先生(Harrison White)和圣菲研究所(Santa Fe Institute，SFI)，他们给予的大力支持使我不必置身于一个真实的小世界中，就能够继续我对它的研究。

最后，我想介绍一下这本书的内容和组织形式。自从开始了对这个课题的研究以来，我接触了大量文献，从理论计算机科学到社会学和神经生物学，可以明显地看出，其中网络都是非常重要的，而且人们也一直这样认为。尽管如此，系统地分析存在于无序与有序之间的复杂状态下的网络似乎还是一个崭新的课题(或者说，还研究得很少)，而我们对于这种网络的结构特征与它们所导致的动态特性之间的关系了解得就更少了。在巨大的电力网或者金融系统中，故障和震荡是如何传播的?对一个组织或者一台功能强大的并行计算机而言，什么样的体系结构最为高效和稳固?这些不仅仅是未解决的单个的问题，它们还代表了所有亟待解决的问题所覆盖的更为广泛的领域。在这本书中，我试图定义这些问题存在于何种领域，并且试图为回答这些问题尽绵薄之力。因此，这本书并不是以回顾的方式写成的——因为尚无可以回顾的既定课题——而是本着探索的精神完成的。这项研究本身也正是从这个角度出发的。

到这本书付梓印刷时，仍有一些需要修订的地方，毫无疑问，也有许多内容需要提炼和补充。的确，自从几个月前，有关这项研究的论文首次发表在《自然》(Nature)杂志以后，来自各个学科(当然，也包括英国文学)的许多研究人员都与史蒂夫·斯特罗加茨和我联系，他们也都被小世界网络与他们的专业领域中某些内容的关联吸引住了。在这里，详细地描绘这一引人人胜的新领域的全部还为时过早。因此，最好把这本书看作是一盏指引方向的明灯，它的作用主要在于抛砖引玉，我希望它将能够促使你对此进行更深人的探索和研究。

邓肯·J·瓦茨(Duncan J．Watts)

于圣菲市，新墨西哥州

1998年10月

这本书的翻译工作，是我们实验室长期工作的需要和结果。正因为这样，翻译和出版的工作拖了四年多的时间，参与和涉及的师生多达近二十人。作为主要负责人，我感到需要做一点必要的说明。一方面，对于所有参与的师生所付出的劳动，应当有如实的反映，虽然其中的许多人已经离开了我们的实验室，甚至远渡重洋在外深造，他们对于我们实验室所追求的科学探索的贡献，是不应当被忽略的。另一方面，对于读者来说，我们的探索历程也许会有助于同行全面地了解和体会复杂性科学的发展轨迹，对于进一步的研究工作有所帮助。

中国人民大学经济科学实验室对于复杂性科学的研究是从20世纪90年代中期开始的。作为一个从非常实际的研究领域——管理信息系统起步的研究集体，实际工作的需要是最基本的考虑。我们经过十几年的实际工作，深切地感受到，传统的近代科学的思想方法正在遇到严重的挑战，社会实践和科学研究都迫切需要全新的理念和思路，以便认识、理解、设计和管理人类面临的各种各样的复杂系统。复杂性究竟从何而来?人们应当如何去认识和理解复杂系统?局部和整体的关系究竟应当如何处理?复杂的、多层次的系统究竟应当如何控制和管理?显然，传统的科学已经不能满足实际的需要。正是在这种情况下，新兴的复杂性科学吸引了我们的注意，引导我们开始进行这一领域的探索。

最早吸引我们注意力的，是2004年2月刚刚在美国辞世的陈余年教授给我们的《复杂》一书的英文版(该书的中文译本后来由三联书店出版，在国内广为流传)。书中所介绍的圣菲研究所(Santa Fe Institute)的思想，对于我们是一个巨大的鼓励。他们所考虑的不正是我们在实际工作中百思不得其解的那些事情吗?于是我们开始注意研究和跟踪圣菲研究所的工作，并且主动与该所建立了直接的、密切的、经常性的学术联系。从1997年以来，我们实验室的师生先后有六人次访问了圣菲研究所，其中两名硕士生参加了圣菲研究所的夏季学校(Summel School)。对于国际学术界在复杂性研究领域研究的介绍，在我们这些年的研究工作中占了相当重要的位置，2000年和2001年，我们先后翻译出版了有关复杂适应系统(Complex Adaptive System)理论的两本重要著作，J．霍兰教授的《隐秩序》和《涌现》。

在进行上述工作的同时，我们进一步扩展视野，对于描述和理解复杂性的各种思路和流派进行研究。正是在这种情况下，《小小世界》这本书成为我们研究的重点之一。该书在局部规则和整体演化之间的关系方面，展现了新的前景。然而，由于该书涉及大量的数学、图论以至生物的知识，翻译的过程成为漫长的学习过程，再加上学生的流动性，以至反复了三遍，历时超过了四年。在前两年中，参加翻译的主要是1999级和2000级的硕士生，以及部分本科高年级的学生。这一阶段的组织工作由任赖同学担任，他既是硕士生，又是本科的班主任，担负了主要的组织工作。他们的工作体现为2002年初形成的译稿。然而经过审阅，我们发现，对于翻译的难度还是估计不足。为了保证质量，我们在2002和2003两届硕士生中重新组织队伍，在初稿的基础上进行了认真的修改，部分章节进行了重新翻译，形成了目前的译稿。虽然不敢说已经保证了质量，至少可以说是已经尽力了。这一阶段的组织工作是由张巧婷同学负责的，各章节的负责人是：序言——李莉，第一章——许彦，第二章——许彦、李莉，第三章——付蔷、杨彬，第四章——顾珊珊、刘颖，第五章——刘颖、张巧婷，第六章——张巧婷，第七章——陈赫，第八章——刘颖、付蔷，第九章——杨彬，第十章——杨彬。疑难问题经过多次讨论，最后由我定稿。非常高兴，方美琪教授担负了全书的校阅工作。

在本书交稿的时候，我们正在继续复杂性的研究。目前的两个重点是：《六度分离》(Six Degrees)一书的翻译和无尺度网络(Seale Free Network)的研究。我们希望本书译本的出版，将有助于我国学术界对于复杂性研究的前进。  如前所述，这种新兴学科著作的翻译是十分困难的，尽管我们已经三易译稿，尽力而为，然而肯定还有不少不妥之处。我们衷心希望得到同行的指正。

中国人民大学经济科学实验室

陈禹