（微积分+意大利辣香肠）/开心=数学的成功！一本写给思想饥渴的人的食谱！克利福德A.皮科夫的又一部力作！《天才设题 智者解题》的姐妹篇隆重上市！它概括了微积分的基本法则和公式，并有成吨的问题留给那些胃口好的学习者。书中利用了意大利辣香肠、肉丸和更多有趣的东西使复杂的话题变的有趣，强调基本、实用的原则。权威而且幽默，祝福你开始踏上了一条生动、味道更为宜人的微积分之路！

　　你想在你的微积分考试中取得好成绩吗？你正在寻找一门能使你快速充满活力的课程吗？或者你想尝一下微积分的口味？如果是这样，你就选对了。《微积分和比萨饼》不仅具有创造性，还非常的美味，它概括了微积分的基本法则和公式，并有成吨的问题留给那些胃口好的学习者。

克利福德·皮科夫在一个比萨饼店里建立了住处，来讨论解决问题的程序，并提供了简短和易于消化的章节，使你能够快速地掌握提出问题和解决问题的技巧。这本书利用了意大利辣香肠、肉丸和更多有趣的东西使复杂的话题变的有趣；强调基本、实用的原则，帮助你计算抛出去的比萨饼面团的速度或者帕尔马干酪茄子成本的上升。而且，你将看到运用数学——和一顿饭——解决一些特别有趣的甚至令人心醉的问题是多么得简单。

权威而且幽默，《微积分和比萨饼》提供了一条生动的——味道更为宜人的——通往微积分的道路。

序言

致谢

导言

1、比萨速度和导数

2、导数的定义和法则

3、导数和斜率

4、乘积和商的法则

5、链式法则和隐函数微风

6、极大值和极小值

7、极小极大值法在比萨中的应用

8、指数和对数

9、极限和连续性

10、相对变化率

11、积分

12、对数微风，分部积分，三角代换和部分分式

13、指数增长和指数衰减

14、微积分与计算机

15、多重积分

16、微积分的简要总结

17、鲁奇的难以置信的测试程序

结论

答案

进阶阅读书目

我转向餐馆里的顾客并大声说，“我很高兴地向大家宣布，下一个小时比萨饼价格曲线函数的导数是负的。”

顾客们盯着我鸦雀无声。罗萨里奥紧张地咳嗽起来。

我看着罗萨里奥那张闪着光泽的脸，胳膊一阵颤抖，感到一股寒意、一阵迷茫和油然而生的失望。顾客们很安静，一动不动。贝格·托尼脸上带着老练和不屈服的微笑。一瞬间，小吃中的烤茄子仿佛也有了活力，蜿蜒跳动，但是当我摇了摇头，这些小吃就停止了跳动，不过贝格·托尼仍然在笑。惨啊，真是噩梦。我觉得我像一个角斗士，被迫走进罗马竞技场，场上的火炬灯已经全亮了。

我转向顾客，“让我们继续，”我说，“导数是意味着曲线切线的斜率是递减的。就是说比萨饼的价格在下一个小时会越来越便宜。”

突然间，每个人都欢呼起来，贝格·托尼走向我拍了我后背一巴掌，“真是好人。”他说。

罗萨里奥悄悄说道，“如果函数曲线上某个点的导数恰好是零的话，那会怎样呢?”

“那就是说斜率是零，曲线既不递增也不递减，我们把曲线上导数为零的点叫转折点。看一下底端在原点(0，O)的抛物线，曲线斜率在到达这个斜率为零的原点之前是递减的，之后。值是正的，抛物线斜率是递增的。”

菲奥纳举起了手，我注意到她的衬衣上有几个大的蓝色和黄色的三角图案，衬衣扣子的形状是螺旋状的，她的耳饰闪闪发光——里面有发光二极管。“那怎么类推一些山峰呢?”她问道，“假定我在一个圆顶山的山脚下，例如马萨诸塞州那座地质上很老的绿山，当我开始攀登时，山坡曲线斜率缓缓递增，在一个靠近山顶的地方，斜率依然是正的，但开始递减。因为当我靠近山峰圆顶的时候，地面逐渐变得不再陡峭，最后当我翻过顶峰时，它从一个正的斜率点(说明我已经在山顶了)转向负的斜率(说明我正在下山)。”

P41-42

微积分的发明是16世纪最伟大的知识成就之一。就像那些数学史上令人好奇的巧合一样，不是一个人，而是两个人发明了这个思路——而且几乎是同时的。

——大卫·M·伯顿，《数学史》

没有厨师会想把两个小时的工作成果投入到两分钟的享受中是愚蠢的；所以如果烹调消失的话，那么，芭蕾也会消失。

——尤莉娅·蔡尔德，厨师，作家，电视节目主持人

微积分历史60秒回顾

遵循数学家们的教条是对我们的一种困扰——一种促使我们回过头去用最基本的原理来解释他们工作的迫切要求。作为教条的结果，读者在接触到一本书的实质性内容之前，经常必须艰难地读很多背景知识。为避免这种负担，这本书的每一个章节都很简短，你能快速地找到它的技巧或者问题。许多基本方法和挑战都代表着今天数学家们感兴趣的问题所在的那些宽广领域。用这种简短格式的一个好处就是你能刚好跳进实践中去，会感到很高兴不用再去分拣那些小石子。因此，这本书不是为那些寻找正规数学解释的数学家们写的。当然，这种方式也有一些缺点。在一些部分，我们的厨师鲁奇不能走到学科的深层次；你不会发现历史承接关系、哲学和扩展性的讨论：你不会发现证明和推导，虽然大多数重要公式已经给出。书的焦点是关于解决问题的程序和练习，不是关于微积分深层的内涵。

在我孩童时期，当我从父亲的旧书堆里发现一本书时，我就对微积分感兴趣了。这本书里面有多重积分，如儿r。糟糕的是这些奇怪的符号给我留下了很深的印象，我都怀疑我是否能理解什么是积分。我父亲的书给了我兴趣的种子，我对积分的兴趣不断增长。伴随着我对比萨饼的热爱，这些书给了我写《微积分和比萨饼》这本书的最初动力。

《微积分和比萨饼》是写给那些不断思考什么是微积分的人，写给那些想在考试中考好的学生和那些想上好的大学和研究所的学生，以及写给那些想尝尝味道或进修这门课的外行人。这本书作为传统微积分教材的补充可能最为有效。如果你很多年没有学微积分的话，《微积分和比萨饼》能够提供给你对基本原理、公式和问题的快速回顾。对于这本书，我假定读者都已经熟悉了高中代数和一些基本的三角函数。

我希望《微积分和比萨饼》会刺激创造性思维，使某些学生对计算机程序感兴趣，并提醒大家简单方法对解决古怪的、应用性的和甚至毫无头绪的问题的有用性。我们将来的劳动力的能力是否能够满足数学家、科学家和工程师的需要，依靠今天学生所接受的教育。最近的统计表明美国面临着不能应对这一挑战的严重危机。20世纪90年代大多数年份里，在与别的国家的对比中，美国学生的科学和数学的得分排名很低。我希望《微积分和比萨饼》是一系列书中的第一本书，这一系列书在强调基本和实践原理的时候能使复杂的科学和数学主题变得有一点有趣。我欢迎读者反馈意见给我，可以通过我的主页跟我联系：http：//www．pickover.com

微积分历史60秒回顾

什么是导数?就是增量消减的速度。什么是这些消减的增量?它们既不是固定量，也不是无穷小，也不是不存在。就让我们叫它是过去量的“鬼魂”可以吗?

——乔治·伯克利(1685--1753)，一个抨击牛顿微积分基础的玄学家

你们那些讨厌历史的人可以跳过这部分直接去看导言，但是你会错过数学家们的争执，这些争执胜过哈特斐尔德和麦考伊的争执。而且，我应该提醒你在这部分中提到的一些名词。如微分和积分，对你没有很大的意义，除非你读完这本书，这些东西才是你希望了解的。你们那些对微积分的起源好奇的人注意到英国数学家艾萨克·牛顿(1642—1727)和德国数学家哥特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646--1716)一般都坚信是他们发明了微积分(图1)，但是很多早期的数学家发现从古埃及时期就有数值和极限的概念，古埃及人发展了计算金字塔体积和近似计算圆的面积的法则。希腊人如阿基米得继承并发展了计算面积和体积的研究。更多的近代数学家，像莱恩·笛卡尔(1596--1650)和费马(1601—1677)，运用了近似现代微积分的技术去找曲线切线的斜率以及去找一些方程的极大值和极小值。英国数学家约翰·瓦里斯(1616—1703)和艾萨克·巴洛(1630—1677，艾萨克·牛顿的老师)也对微积分的发展做出了重要贡献。

在17世纪，牛顿和莱布尼茨都对这些问题感到困惑：切线、变动值、极小值、极大值和无穷小(不可想像的微小的量，接近于零但不是零)。两个人都懂得微分(计算曲线的切线的斜率)和积分(计算曲线的面积)是相反的过程。牛顿的发现(1665—1666)从他对无穷的兴趣开始的，但是他发表他的发现很晚。莱布尼茨在1684年发表了他关于微积分的微分的发现，在1686年发表了关于微积分的积分的发现。他说：“让优秀的人像奴隶一样花费时间去进行计算是不值的……我的新的微积分……提供了一种分析的真理，没有任何空想的成分。”牛顿被激怒了。关于怎么划分发明微积分荣誉的争论非常激烈，持续了很多年，微积分发展的脚步也延缓了(有关这一争执更多的内容可以在本书结论章节中找到)。今天我们在微积分中运用了莱布尼茨的符号，比如用df/dx表示导数，用∫表示积分(这个积分符号实际上是一个拉长了的求和字母S拉丁文就是SUM)。数学家约瑟·路易斯·拉格朗日(1736—1813)第一次使用f(x)这个记号表示一阶导数，用f'(x)表示二阶导数。1696年，法国数学家罗必塔出版了第一本微积分教科书。

牛顿和莱布尼茨对微积分的同时发现使我感到迷惑，为什么在科学上有那么多发现是被各自独立工作的不同的人同时发现的呢?例如，查尔斯·达尔文(1809--1882)和阿尔佛雷德·华莱士(1823--1913)都独立发现了进化论。事实是这样的，达尔文在1858年发表了一篇论文宣布了他的发现，在同时，博物学家华莱士则发表了他关于自然选择的理论。数学家詹姆士·鲍耶(1802—1860)和尼古拉·洛巴切夫斯基(1793—1856)也同时独立发现了双曲几何。这些发现的同时产生很可能是因为时代的要求，时代在特定的历史时期给了人类知识的积累。但是，神秘主义者却说这种巧合具有更深层次的含义。奥地利生物学家保罗·卡默勒(1880一1926)写道，“我们因而到达了一个世界马赛克和宇宙万花筒的境界，除了持续不断的洗牌和排列组合，也带来了越来越相像的组合。”他把我们世界上的事物比做海洋波浪的顶峰，看上去相互独立和毫无联系，但是通过他的有争议的理论，我们注意到波浪的顶峰下面也许有某种同步机制在神秘地使世界的事物相联系起来，而且促使它们聚集发生。无论这一争论的结果如何，微积分对科学和社会的影响是不可磨灭的，从牛顿和莱布尼茨年代开始就是。

对“微积分"这个词的提醒

在读这本书之前，我应该提醒大家微积分这个英语单词还有一个意思，在英语上它还指医学上所说的体内产生的非正常的矿物质结石，比如膀胱里的、胆囊里的、胰腺里的、唾液腺里的和前列腺里的结石，这些结石或石头从远古时期人们就已经知道了。例如，古苏美尔人和古埃及人就发现了肾结石，今天我们知道这些结石是由钙盐和镁盐形成的，膀胱结石经常是尺寸很大，有时直径达11厘米，但是，这本书不讨论结石的医学种类。

从世界的起源到牛顿时代，数学带给我们的是使世界事半功倍。 ——哥特弗里德·威廉·莱布尼茨，微积分的共同发现者

如果说我看得比别人远的话，那是因为我站在巨人的肩膀上。 ——艾萨克·牛顿，微积分的共同发现者

如果说我看得没有别人远的话，那是因为巨人站在我的肩膀上。 ——哈尔·艾伯森，麻省理工教授

“皮科夫几乎每年都会出版一本书，这些书拓展了计算机、艺术和思想的极限。” ——《洛杉矶时报》

“克利福德·皮科夫是一台永恒的思想机器，他是当今世界上最有创造性和独创性的思想家之一。” ——《趣味数学期刊》