本书介绍较深层次的数学物理知识及其在大气科学中应用，以变分问题大气运动稳定性为主线，全面讲述分原理、计算方法和稳定性理论。全书可读性强，力图以普及的形式，深入浅出地介绍近代数学方面的有关知识，又保证了科学体系的完整性。

本书根据十多年来教学实践和科学研究的总结，以国内外大气科学发展趋势为思路，吸取近年来最新研究成果，并考虑到气象工作者及科研人员实际业务发展与提高的需要。本书以变分为出发点，介绍变分原理及其算法的数学知识，介绍Hamilton力学及最优控制，并给出这些理论在大气科学和流体力学中的某些应用，特别是在稳定性方面的应用。为了读者阅读方便，我们增加了必要的数学基础知识，另外根据实际需要，简明扼要地介绍了近代数学的一些基本概念(例如流形、广义函数、反问题的正则化思想、变分同化技术等)。全书深入浅出，物理概念清晰，并注重理论与实际相结合。

本书经教育部审定为普通高等教育“九五”国家级重点教材，可作为高等院校大气科学专业及相关专业的硕士生和博士生教材，也可作为气象、海洋、航空、农林、水利、环境等部门的科研人员和业务人员的参考用书。

前言

引言 /1

第一章 数学预备知识介绍 /13

 1.1 常数分方程(组)的解法 /13

 1.2 常微分议程的稳定性及定性理论 /26

 1.3 偏微分议程的特征理论 /46

 1.4 摄动的基本概念和问题 /57

 1.5 奇异摄动方法介绍 /67

 1.6 积分议程的理论与解法 /81

 参考文献 /100

第二章 数学物理中的变分问题 /102

 2.1 函数的极值问题 /102

 2.2 泛函极值与变分问题 /110

 2.3 力学中的变分原理 /126

 2.4 可变区域上泛函的变分与Noether定理 /134

 2.5 流体力学中的变分原理 /142

 2.6 平均变分原理和波动传播及发展 /148

 参考文献 /155

第三章 一阶非线性方程与Hamilton力学 /157

 3.1 一阶拟线性方程的理论 /158

 3.2 一阶非线性方程及其解法 /165

 3.3 全积分与求全积分的方法 /174

 3.4 Legendre变换及其在力学上的应用 /179

 3.5 Hamilton正则方程 /185

 3.6 H-J方程及H-J理论 /192

 3.7 变分与最优控制 /204

 3.8 Hamilton力学的几何原理 /220

 参考文献 /235

第四章 稳定性与变分 /236

 4.1 流体稳定性的一些基本概念 /236

 4.2 平面平行流的边值问题特征值估计与变化 /245

 4.3 CouetteI流及其稳定性 /253

 4.4 无粘性流体中不稳定理论 /263

 4.5 流体稳定性的能量方法 /274

 4.6 平均变分法与波的稳定性 /283

 参考文献 /294

第五章 变分原理的数学基础 /296

 5.1 线性空间对偶空间 /296

 5.2 欧氏空间 /305

 5.3 欧氏空间中微分流形与Stokes定理 /316

 5.4 泛函分析中一些基本知识 /326

 5.5 广义函数初步 /340

 5.6 Sobolev空间大意 /351

 5.7 非线性泛函分析介绍 /360

 参考文献 /369

第六章 变分问题及其算法/371

 6.1 正算子与二次泛函的极小问题 /371

 6.2 算子形式的Euler定理、互补变分原理及变分的逆问题 /380

 6.3 Ritz与Galerkin方法 /391

 6.4 有限元方法 /401

 6.5 数学物理中反问题正则化方法思想 /411

 6.6 Tikhonov正则化与变分问题 /422

 6.7 最大熵方法及其应用 /439

 6.8 R的N次方中变分原理及算法 /451

 6.9 四维同化、变分同化及伴随方法 /460

 参考文献 /473

第七章 流体及大气运动的非线性稳定性 /476

 7.1 流体运动稳定性的弱非线性理论 /476

 7.2 流体运动非线性稳定性的Arnol"d方法 /487

 7.3 多层准地转流的非线性稳定性 /501

 7.4 两层准地转流的非线性稳定性 /511

 7.5 Phillips模式的非线性斜压不稳定的饱和问题——上界估计 /520

 7.6 Phillips模式的非线性不稳定的饱和问题——下界估计 /529

 参考文献 /535

附录：常用数学符号及代表意义 /537