本书为普通高等教育“十五”国家级规划教材，主要包括复变函数与数理方程两部分。其中复变函数主要内容涉及复变积分、无穷级数、二阶线性常微分方程的幂级数解法、留数定理及其应用、拉普拉斯变换等；数理方程主要介绍了线性偏微分方程的通解、分离变量法、正交曲面坐标系、柱函数、积分变换的应用等内容。

本书包括复变函数与数理方程两部分，兼顾理论体系的完整与实用的解题技巧。在物理类数学物理方法教材的传统内容之外，增加了发级数与渐近级数、默比乌斯变换、经性偏微分方程的通解、三种基本类型数理方程解的定性性质、拉普拉斯算符的不变性等；补充了关于外微分运算、小波变换与非线性偏微分方程的简介；部分内容（如Γ函数及勒让德多项式）也采用一些新的讲法，并比较完整地给出了“分离变量法总结”订正了目前工具书中的几个特殊函数公式。介绍了计算机软件Marthematica在复变函数计算中的应用。附有习题与答案。

第一部分 复变函数

1 复数和复变函数

 1.1 预备知识：复数与复数运算

 1.2 复数序列

 1.3 复变函数

 1.4 复变函数的极限和连续

 1.5 无穷远点

 *1.6 正十七边形问题

 习题

2 解析函数

 2.1 可导与可微

 2.2 解析函数

 2.3 初等函数

 2.4 多值函数

 *2.5 解析函数的保角性

 习题

3 复变积分

 3.1 复变积分

 3.2 单连通区域的柯西定理

 3.3 复连通区域的柯西定理

 3.4 两个有用的引理

 3.5 柯西积分公式

 3.6 解析函数的高阶导数

 3.7 柯西型积分及含参量积分的解析性

 *3.8 泊松公式

 习题

4 无穷级数

 4.1 复数级数

 4.2 二重级数

 4.3 函数级数

 4.4 幂级数

 4.5 含参量的反常积分的解析性

 *4.6 发散级数与渐近级数

 习颢

5 解析函数的局域性展开

 5.1 解析函数的泰勒展开

 5.2 泰勒级数求法举例

 5.3 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性

 5.4 解析函数的洛朗展开

 5.5 洛朗级数求法举例

 5.6 单值函数的孤立奇点

 5.7 解析延拓

 *5.8 伯努利数和欧拉数

 习题

6 二阶线性常微分方程的幂级数解法

 6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点

 6.2 方程常点邻域内的解

 6.3 方程正则奇点邻域内的解

 6.4 贝塞耳方程的解

 *6.5 方程非正则奇点附近的解

 习题

7 留数定理及其应用

 7.1 留数定理

 *7.2 有理三角函数的积分

 *7.3 无穷积分

 7.4 含三角函数的无穷积分

 *7.5 实轴上有奇点的情形

 *7.6 多值函数的积分

 *7.7 应用留数定理计算无穷级数的和

 *7.8 留数定理的其他应用

 习题

8 Γ函数

 8.1 Γ函数的定义

 8.2 Γ函数的基本性质

 8.3 ψ函数

 8.4 B函数

 *8.5 Γ函数的普遍表达式

 *8.6 Γ函数的渐近展开

 *8.7 几个特殊函数公式的订正

 *8.8 黎曼(函数和默比乌斯变换

 习题

9 拉普拉斯变换

 9.1 拉普拉斯变换

 9.2 拉普拉斯变换的基本性质

 9.3 拉普拉斯变换的反演

 9.4 普遍反演公式

 *9.5 利用拉普拉斯变换计算级数和

 习题

10 δ函数

 10.i δ函数

 *10.2 利用δ函数计算定积分

 *10.3 常微分方程初值问题的格林函数

 *10.4 常微分方程边值问题的格林函数

 *10.5 求解常微分方程的格林函数方法

 习题

*11 Mathematica中的复变函数

 *11.1 Mathematica扣的数及其运算

 *11.2 变量和函数

 *11.3 极限和微积分计算

 *11.4 幂级数张开与求和

 *11.5 求解微分方程

 *11.6 拉普拉斯变换和傅里叶变换

 *11.7 δ函数

 *11.8 Mathematica作图

第二部分 数学物理方程

12 数学物理方程和定解条件

 12.1 弦的横振动方程

 12.2 杆的纵振动方程

 12.3 热传导方程

 12.4 稳定问题

 12.5 边界条件与初始条件

 12.6 内部界面上的连接条件

 t2.7 定解问题的适定性

 习题

*13 线性偏微分方程的通解

 *13.1 线性偏微分方程解的叠加性

 *13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解

 *13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解

 *13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程

 *13.5 波动方程的行波解

 *13.6 波的耗散和色散

 *13.7 热传导方程的定性讨论

 *13.8 拉普拉斯方程的定性讨论

 习题

14 分离变量法

 14.1 两端固定弦的自由振动

 14.2 分离变量法的物理诠释

 14.3 矩形区域内的稳定问题

 14.4 多于两个自变量的定解问题

 14.5 两端固定弦的受迫振动

 14.6 非齐次边界条件的齐次化

 习题

15 正交曲面坐标系

 15.1 正交曲面坐标系

 *15.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符

 *15.3 拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性

 15.4 圆形区域

 15.5 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量

 15.6 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量

 *15.7 矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程

 习题

16 球函数

 16.1 勒让德方程的解

 16.2 勒让德多项式

 16.3 勒让德多项式的微分表示

 16.4 勒让德多项式的正交完备性

 16.5 勒让德多项式的生成函数

 16.6 勒让德多项式的递推关系

 16.7 勒让德多项式应用举例

 16.8 连带勒让德函数

 16.9 球面调和函数

 *16.10 连带勒让德函数的加法公式

 *16.11 超几何函数

 习题

17 柱函数

 17.1 贝塞耳函数和诺伊曼函数

 17.2 贝塞耳函数的递推关系

 17.3 贝塞耳函数的渐近展开

 17.4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示

 17.5 贝塞耳方程的本征值问题

 *17.6 汉克尔函数

 *17.7 虚宗量贝塞耳函数

 17.8 半奇数阶贝塞耳函数

 17.9 球贝塞耳函数

 *17.10 合流超几何函数

 附录 涉及贝塞耳函数的常微分方程

 习题

18 分离变量法总结

 *18.1 内积空间

 *18.2 函数空间

 18.3 自伴算符的本征值问题

 18.4 斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题

 18.5 斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象

 18.6 从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法

 习题

19 积分变换的应用

 19.1 拉普拉斯变换

 19.2 傅里叶变换

 *19.3 半无界空间的情形

 *19.4 关于积分变换的一般讨论

 *19.5 小波变换简介

 习题

20 格林函数方法

 20.1 格林函数的概念

 20.2 稳定问题格林函数的一般性质

 20.3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数

 20.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数

 *20.5 波动方程的格林函数

 *20.6 热传导方程的格林函数

 习题

21 变分法初步

 21.1 泛函的概念

 21.2 泛函的极值

 21.3 泛函的条件极值

 21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式

 *21.5 变边值问题

 21.6 瑞利-里兹方法

 习题

22 数学物理方程综述

 22.1 二阶线性偏微分方程的分类

 22.2 线性偏微分方程解法述评

 22.3 非线性偏微分方程问题

 22.4 结束语

 习题

参考书目

外国人名译名中英对照表

习题答案