“女儿的数学一直不好，刚回到我身边的时候，8岁三年级的孩子居然不能够顺畅地完成个位数的加法，比如8加6等于几之类的题目也会使孩子困惑不解，看着我嗔怒的脸色，女儿的眼角衔着泪花，使我几次压抑住冲到头顶的恼怒，那种失望或者近乎绝望的心情真是难以描述。虽然后来……”本书记录的是作者教女儿学数学的大致脉络，其中有一些是他的具体做法，还有一些当时场景的描述。作者通过创设情境，以历史为脉络，陶冶数学素养。用孩子愿意接受的形式来教授对孩子有益的内容，多难的知识孩子都可以学习关键是采用适宜的形式。

作者在丫丫家庭网上给一位读者的回帖：看了你的帖子，很感动，任何一个作者看到有人认真地看他的书都会有同样的感受。

这本书完全可以挑着看，挑着给孩子讲，孩子不懂的地方一带而过，这很合理。

多说几句。

这本书其实是一本讲数学史的书，如果你有耐心看完，你就大概看完了18世纪以前的数学史。

现在孩子学的数学其实是循着数学的发展历史，一步一步教的，可是，很多孩子不知道，甚至，家长也不知道。小学四年级数学讲两点之间可以连接一条直线，其实就是欧几里得《几何原本》中开宗明义的五条公设的第一条，就这样，一直到高中，孩子们学的几何基本没有超出《几何原本》的范围。

数学大师陈省身说过，了解历史的变化是了解这门学科的一个步骤。要想孩子学好数学，我们就不能跨越这个步骤。我们的学校很少讲数学的历史。这个缺陷只能由我们家长来弥补。可是，家长又有几个看过数学史呢?所以，我们需要一本没有公式，可读性较强的数学史。

我在教孩子的时候，尽量模仿当初这些数学成果的发现过程，这样，孩子首先不会感到数学枯燥，其次，这样学来的东西记得牢固，再有。这样的学习可以潜移默化的培养孩子科学的思维方式。现在孩子太累，我就是想让孩子的学习过程能够一举几得，获得总体的较高效率。而这样做就需要数学史的知识。这只能由家长来帮助完成。

第一部分：学数学要从非数学开始

当女儿凝视夜空的时候

教女儿数学可以从这里开始吗

孩子小时候就要把宇宙给他

告诉孩子什么都不可能孤立地存在

让孩子尝试算算地球有多大

孩子是什么时候知道地球形状的

板块学说能够让孩子熟悉宏观运动

一定要给孩子买一份世界地形图

让孩子知道脚底下是什么

不但要知道天气，还要让孩子知道气候

让孩子学会画生命树

与孩子一起画地球与生命年表

这一部分：可以结束了

第二部分：认识数量的时代

不知道起点的故事

尼罗河与河边的莎草

让女儿尽早地熟悉数学名词

第三部分：探索图形规律的时代

孩子一生都会与图形打交道

孩子可以从古希腊学到很多东西

泰勒斯惩罚骡子

急刹车引出来的故事

要经常和孩子模拟戏剧场景

上中学之前一定要让孩子知道《几何原本》

让孩子知道中国古代的数学成就和缺陷

我们的大学建得太晚，而且太少

孩子从哪儿获得解题思路

孩子喜欢优美的曲线

奇特的墓志铭

第四部分：让孩子学习东方数学的精髓

孩子从印度数学中能学到什么

相对于结果，更应该让孩子知道原因

通过《一千零一夜》让孩子知道阿拉伯数学

让孩子对欧洲有个更全面的认识

第五部分：欧洲数学崛起

中世纪临近结束之前主要是数学的传播‘(

斐波那契和让女儿退出“奥数”

孩子明白爆发之前总会有沉寂

广泛而坚实的基础在哪里都是适用的

孩子的自信与西方最早印刷的算术书

让孩子知道符号也有“系统”

数学史上的一段公案

如果你的孩子是个天才

十六世纪的其他数学家

第六部分：变量数学的时代

阿兹特克帝国灭亡了

化繁为简是重要的数学方法

让孩子有点“骄傲”的理由

你有没有看出孩子的运动轨迹

让孩子从绘画中感悟数学

幸好，我的孩子不是天才

让孩子早日挣脱第一象限

孩子的脑海里一定要有一个坐标系

女儿是一个“素数”

我们每天做的事情不是“微分”就是“积分”

牛顿也有前辈

上帝说：生出牛顿来，一切都变得明朗

具有极好数学素质的莱布尼兹

后记——永远不会谢幕的故事

附录

此刻，已经快到晚上1O点了。

女儿房间里静悄悄的，没有拉窗帘，这是北京难得一见的晴朗夜空，银白色的月光透过纱窗洒落在女儿的小床上，海信变频空调吹出一阵阵清凉的微风将暑热挡在窗外。这时，我想看看女儿睡着了没有，轻轻地走到女儿跟前。

“爸爸。”女儿轻轻地叫了我一声，声音很轻，却吓了我一跳。我已经习惯了孩子大着嗓子喊我，这么轻柔，尤其在这么安静地流淌着月光的夜晚还真是第一次呢。我低头看看女儿，女儿睁着晶润的眼睛定定地看着窗外的夜空，似乎不再理会我的到来。我斜靠在孩子的床头，顺着女儿的目光看去，星星点点的光亮正点缀在月夜幽深的苍穹。

这是我第一次看见女儿这么痴迷地凝视这圣洁而浩瀚的夜空，“她在想什么呢?”

女儿从生下来就生活在老人身边，8岁回到我的身边，转眼又一年过去了。记忆里，孩子从来没有问过我关于星星或者有关宇宙的任何问题，也从来没有关心过地球之外的任何事情……我突然感到心里一震，似乎意识到一个问题，一个迫切需要解决的问题。

女儿的数学一直不好，刚回到我身边的时候，8岁三年级的孩子居然不能够顺畅地完成个位数的加法，比如8加6等于几之类的题目也会使孩子困惑不解，看着我嗔怒的脸色，女儿的眼角衔着泪花，使我几次压抑住冲到头顶的恼怒，那种失望或者近乎绝望的心情真是难以描述。虽然后来，我用卡尔威特的方法——《孩子是管出来的》这本书中主人公使用的数学游戏启蒙教育的方法——很快地解决了这个问题，使孩子赶上了同龄人的数学进度，但是，怎么能够使她对数学有更好的理解和兴趣仍然是我一直担心的事情。“从哪里开始呢?”我不止一次地问自己。

当从这个夏夜孩子的小床边回到书房的时候，我感觉已经找到了答案。我要从对孩子来讲最神秘也是正好刚刚燃起探究欲望的宇宙开始，这个舞台足够大，足以容得下以后随着年龄增长继续增加的几乎所有的知识，那些知识在这个浩瀚的宇宙中都会找到自己相应的位置，而不会造成任何混乱。当然，最主要的是，儿童，无一例外地，对于他所不熟悉的世界怀有让人惊异的兴趣。

想到这些让我兴奋不已。“女儿的数学有希望了”，我想。

这是一个星期五的晚上。

可是，问题又来了，明天我要具体从哪里入手呢?从宇宙的诞生开始吗?

我们所在的地球，地球所在的宇宙，或者，我们身边一棵随风摇摆的树，或许，一只正费力地向树上爬的小虫子，所有这一切都循着一套既定的规律干着他们各自的事情。这些规律被人——只是被人——给“挖”了出来，不仅如此，他们还给它起了一个名字，这个名字就叫数学。

这样说，你就会明白，我为什么决定要从表面看来和数学没什么关系的宇宙开始给女儿讲述后面的故事。

好，那就这样开始吧!P12-13

前言——孩子不管不行

很多家长都为孩子的数学成绩发愁，我也是其中的一个。不理想的成绩单像催命的锣鼓，叮咚作响，搅得人心神不宁。

我用了一年多的时间扭转这种局面，效果还不错，孩子的数学成绩直线上升，这在北京人大附小这样的重点小学里非常不容易，看看周边那些出类拔萃的孩子，就能知道这种“蹿升”的分量。

《孩子是管出来的》这本书出版以来，作为译著者，我收到了近千封家长的来信，其中很多是询问如何把孩子的数学成绩提上去的，其实，这也是我给自己提的问题。我给自己订的标准是要让孩子从数学的学习中得到快乐。

在《孩子是管出来的》这本书里说过，“我的女儿8岁之前和老人呆在千里之外的另一个城市，对于她的了解真是少得不能再少了，不过，我观察过很多其他的孩子，这可能是出于对女儿的想念，所以，对别的孩子就格外的留意。”

你有没有做过这样的观察：当孩子第一次笔尖向下拿起笔来时，他会干什么?

他会重重的向下一戳——结果，不论是桌面、墙面，或者是一张纸，一个“点”出现了，你应该高兴，他创造了一个空间，尽管那是一个很小的空间。

随后，他信手横着一挥，从他创造的那个很小的空间的“点”开始出现了一条直线——于是，欧几里得著名的5条公理中间的2条就出来了。

就这样，随着年龄的增长，他或她，开始认识二维空间，这是孩子在三年级之前努力要弄明白的；三维空间是四年级开始的，以后不断地增加，一直到多维空间。他们努力搞明白在这个多维空间里事物之间的联系，并且引申到数学之外，学着用数学来描述各种关系，这就是他或她的整个学习过程，直到大学甚至更长——

我相信，对于孩子来说，数学素质是最重要要的素质之一。

如同柏拉图所相信的：数学永恒地存在，只不过期待着人们去发现。这句话，不是一种带有哲学意味的描述，而是一把钥匙，持有它，你可以在任何一个领域毫无顾忌地行走，而不用担心误入歧途。所以，远在2000多年前的柏拉图学园的门口就赫然立着这样一块牌子：不懂几何者不得入内。在古希腊，几何就意味着数学。

数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

最近看了一些报道，美国、以色列等教育非常发达的国家正在引进新加坡的数学教育思想和方法，甚至，直接引进他们的教材。那么，新加坡的数学教育究竟有什么独到之处?分析之后，我发现他们非常重视数学知识的背景教育、数学思想的无形熏陶和数学研究方法的分析运用，他们把数学史和课堂教学非常有机地结合在一起，收到了异常突出的效果。有一篇重庆师范大学老师撰写的文章做了很好的分析，我本想把它收录在本书的后面供大家参考，由于联系不到作者，所以只好把那篇文章的网址记录在这里——http：／／www．pep．com．cn／200503／ca647807．htm。我欣喜地看到，新加坡的做法和我教女儿学数学的方法是完全一致的，这使我认识到，我女儿的进步不是特例。

这本书记录的是我教女儿学数学的大致脉络，其中有一些是我的具体做法，还有一些当时场景的描述。读者看过之后会发现，这本书，除了第一部分之外，是循着数学史的路径展开的，是的，好在数学史的发展历程恰好和孩子们数学学习的展开方向基本一致。

这也使我想起了著名数学家陈省身的一句话：了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤。  在这里，我要特意感谢那些在《孩子是管出来的》出版之后给我写邮件的家长们，没有他们的问询和督促，这本书可能永远不会问世。

下面您要看到的就是我领着女儿，循着数学这门科学的历史，如何正在蹒跚前行的。

后记——永远不会谢幕的故事

如今，通常在中小学讲授的算术、初等代数、几何和三角，连同在大学一、二年级讲授的高等代数、解析几何和初等微积分，构成所谓真正意义上的“初等数学”。书写到这里，实际上我们已经结束了对“初等数学”的概述。

给孩子指出下面这点仍是有益的，但是，不要言之过甚。在课堂上学习的一系列数学课程，是十分紧密地遵循这门学科的发展趋势而展开的。

完全可以断言，一个人没有某门学科本身的知识，就不能适当地研究该学科的历史；反过来，我们更加确信，如果不了解这门科学的历史就不能更好地学习这门科学。

由此可见，我女儿有一天要想很有见地地去学习18世纪、19世纪和20世纪数学上发生了什么事，就必须对微积分以外的高等数学作广泛的研究。当女儿具备这样的基础时，可能我会继续研读这样一些书：

贝尔著的《数学的发展》；

博耶著的《数学史》；

克莱因著的《古今数学思想》。

尽管如此，我们都知道，除了那些专门的研究者，对于家长来说，只需要知道一个大概和脉络就可以了，这也是本书的目的之一。它可告诉本书读者数学上的一些重要情况，它简短地说明了数学在初等基础上的发展趋势。初等数学作为现代数学突出成就的序幕，将仍然有其重要的地位。

毋庸讳言，下面的叙述是不完全的、简单的。康托尔写的18世纪末的大部头数学史，有四大本，每本都差不多一千面。但是，如果要把19世纪的数学史写得同样详细，做最保守的估计，至少需要十四本这样的大书!还没有人敢估计，要把20世纪这个最为活跃的时代的数学史写得同样详细，该要多少本这样的大书!如前所述，普通的大学生，只能领悟最近二三百年的材料中的极小部分。事实匕，要理解大量这类材料需要很深的数学素养。

当代的数学研究成果，有了几乎爆炸性的增长，下列事实能雄辩地说明：刊载数学论文的杂志，在17世纪末以前，只有17种；18世纪有了210种；19世纪有了950种：20世纪前半叶，粗略估计，达到2600种。此外，在19世纪以前还没有主要地或专门地刊载数学内容的杂志。人们说——也许说得很恰当，这些学术性杂志中的论文，构成了现代数学的真实历史，并且必须承认，不是专家也能看懂的论文是很少的。

为了强调指出数学在本世纪发展得异常迅速，还可作这样的统计：所有已知的数学超过50％是最近五十年创造的；并且，历史上所有的数学家中，有50％现在还活着。

微积分学，靠解析几何的帮助，成为17世纪发现的最伟大的数学工具。早已表明，微积分对解决早年很难攻破的问题是非常有效的。吸引那个时代大量数学研究者的是此分支的广泛而又惊人的实用性，因而，发表了这方面的大量论文。然而，却很少有人考虑微积分的并不令人满意的薄弱基础。这些方法之所以认为能采用，主要是因为它们能解决问题。这也是为什么非理工科的学生在大学阶段也要学习微积分的重要原因。

但是，直到18世纪末，在许多混乱和矛盾渗入数学之后，数学家们才感到：从逻辑上审查并严格地确立他们工作的基础是必不可少的。把分析置于严格的逻辑基础上的艰苦努力，是对上一世纪直观地、形式主义地、乱七八糟地使用数学的正常反应。事实表明，这是一项困难的工作，各种争论在往后几百年中将占重要地位，从对微积分基础所作的认真细致的分析，导致对数学所有分支的基础进行同样的分析，并对许多重要概念加以准确化。例如，函数概念本身必须准确化，极限、连续性、可微性、可积性之类的概念必须很仔细、很明白地定义。对数学的基本概念重新精确化的工作，转而导致错综复杂的推广。像空间、维、收敛性和可积性一一这里只指出很少几个这样的概念，经历了引人注目的一般化和抽象化的过程。20世纪数学的很大一部分就是致力于这类工作的。到现在，一般化和抽象化已经成为当代数学的显著特征，其中某些推论又转而导致一批新矛盾的发现。例如，超限数和集合的抽象研究已经使得数学的许多分支加宽加深，同时也显现出一些很令人不安的矛盾，它们原来是潜存于数学深处的。这就是我们今天的处境。

所以，就数学的历史来讲，那是一个永远不会谢幕的故事。我们可以有一定把握地说：18世纪大半时间花在多方利用那个新的、功效卓著的微积分方法上；19世纪大半时间致力于把上个世纪建立起的巨大然而动摇的上层结构置于牢固的逻辑基础上；而20世纪大半时间用于尽可能地推广已经取得的成果；现在许多数学家则在考虑更深层次的基本问题。对于我教孩子来说，还有好多年的喘息时间。

由于影响科学发展的各种社会因素，情况远不是这么简单。像保险事业的发达，18世纪强大海军的建设，19世纪由西欧和美洲工业化引起的经济和技术问题，20世纪世界范围的战争气氛，以及今天在征服外层空间上所做的努力等等，所有这些已经导致数学领域中许多实用数学的发展。数学已被划分为“纯粹的”和“应用的”。对前者的研究，在很大程度上是靠那些为数学本身的发展而钻研的专家们的努力：对后者的研究，则靠那些重视实际应用数学的人的努力。

我从来没有考虑过女儿今后在数学上的发展到底要达到一个什么程度。我可能是一个对女儿比较宽容的父亲，只是希望她快乐，即使面对那些经常不让人快乐，而又不得不面对现实的时候，我的第一反应是，想一些办法让孩子快乐起来。我真的希望有一天，我们学校的教育能够既让孩子高高兴兴，又能让孩子学到更多的东西。你可能会说：那是不可能的。是的，就目前来说，确实是这样，所以，我所作的——比如这本书——还真的有一些意义。