本书从现代数学的观点介绍复分析的基础知识与常用工具。主要包括:复数、复函数、作为映射的解析函数、复积分、级数与乘积展开、共形映射、狄利克雷问题、椭圆函数以及全局解析函数。取材合理、言简意赅、由浅入深、逻辑严谨、论述清晰,可作为高等院校高年级本科生以及研究生的教材和参考书。
作为单复变量的标准基础教材,《复分析》成功地保持了它的地位.然而,仍然需要一个新的版本,一方面是因为当前的数学术语有些变化,另一方面是因为学生的基础和目标也有所不同。
新的版本中没有根本性的创新.作者仍然坚信几何方法的基础作用,因此在介绍性的章节里没有本质上的变化.经验表明,整本书中有少数几处可能会产生误解和困难,需要予以阐明.已经发现的印刷错误和小错误都已经改正.另外,第2版和第3版的主要区别概括如下:
1.数学符号和术语已经采用现代标准,但是没有必要对文体作大的改变.
2.在第2章中,增加了很短的一节,讨论共形映射下长度和面积的变化.这在某种程度上破坏了本书能自含解释的特点,因为需要读者回顾微积分,学习重积分的定义和处理.这个缺点较小。
3.在第4章中,柯西定理的一般形式有了一个新的更简单的证明.这是A.F.Beardon给出的证明,他慷慨地允许我在这里引用.这个证明补充了老的证明,但不能取而代之,因此老的证明仍然保留并作了改进。
4.增加了很短的一节,讨论黎曼?函数.这常使学生着迷,并且函数方程的证明说明,留数在比定积分计算更为复杂的情形下应用。
5.第8章中的大部分已全部重写.主要目的是在强调经典概念的同时,介绍给读者芽和层的术语.不过,所涉及的层理论的基本概念不会超出与本书初级性质相一致的范围。
6。作者经受住把黎曼面作为一维复流形加进书中的诱惑.本书旨在介绍平面上复函数论的基本方法和结果,如果超出该目的,那么将大大失去其有用性.
很多人指出了第2版中的一些印刷错误、缺点和错误,在此对他们的帮助表示感谢.特别感谢我的同事Lynn Loomis,他使我了解到学生在以此书为教材的近期课程中的反映。
Lars V.Ahlfors