本书从杆系有限元入手，较全面地介绍了有限单元法的基本原理。全书共分12章，作为教材，内容除最基本的弹性力学有限单元法外，还简单介绍了广义变分原理及其应用、加权余量、广义协调、半解析、样条元和边界单元法等基本知识，为适应部分专业研究生应用，还增加了非线性有限元的基础知识内容。本书可作为高等学校土木、水利、道路与桥涵及机械等专业高年级学生和研究生的教材，也可供相关专业工程设计和研究人员学习参考。

第1章预备知识…………………………………………………………………………………1

1．1引言……………………………………………………………………………………1

1．2矩阵符号约定…………………………………………………………………………1

1．3弹性理论有关方程的矩阵表示………………………………………………………2

1．4虚位移原理与势能原理………………………………………………………………6

1．5里兹法…………………………………………………………………………………15

习题…………………………………………………………………………………………20

第2章杆系有限元分析……………………………………………………………………………22

2．1平面等直杆的单元分析………………………………………………………………22

2．2近似分析中虚位移原理的实质………………………………………………………28

2．3平面杆系结构的整体分析……………………………………………………………32

2．4本章内容小结…………………………………………………………………………39

习题…………………………………………………………………………………………39

第3章弹性力学平面问题……………………………………………………………………40

3．1引言……………………………………………………………………………………41

3．2常应变三角形单元…………………………………………………………………42

3．3有限元分析中的误差及收敛性………………………………………………………49

3．4矩形双线性单元………………………………………………………………………50

3．5单元的形函数及高阶单元……………………………………………………………54

3．6等参数单元的单元分析………………………………………………………………66

3．7有限元分析中一些应注意的问题……………………………………………………81

习题…………………………………………………………………………………………85

第4章空间与轴对称问题……………………………………………………………………89

 4．1空间问题………………………………………………………………………………89

 4．2轴对称问题………………………………………………………………………………105

 4．3轴对称问题的等参元分析…………………………………………………………110

 4．4非轴对称荷载………………………………………………………………………111

 习题…………………………………………………………………………………………117

第5章板壳有限元……………………………………………………………………………119

5．1 12自由度矩形薄板弯曲单元(R．J．Melosh单元)…………………………………119

5．2 9自由度三角形薄板弯曲单元……………………………………………………129

5．3弹性地基板的分析…………………………………………………………………137

5．4 SAP薄板弯曲单元…………………………………………………………………141

5．5建立薄板弯曲协调元方法简介……………………………………………………147

5．6考虑横向剪切影响的薄板弯曲单元……………………………………………149

5．7平面壳体单元………………………………………………………………………155

5．8考虑横向剪切变形影响的壳体单元(曲面壳元)…………………………………164

5．9轴对称变形的旋转壳单元…………………………………………………………173

5。10广义协调元简介……………………………………………………………………177

习题…………………………………………………………………………………………18l

第6章广义变分原理及其在有限元分析中的应用…………………………………………183

 6．1虚力原理与余能原理………………………………………………………………183

 6．2泛函的变换格式……………………………………………………………………185

 6．3含可选参数的广义变分原理………………………………………………………188

 6．4基于Reissner原理的混合元分析……………………………………………………190

 6．5薄板弯曲问题的混合元分析…………………………………………………………192

 6．6放松边界连续性要求的变分原理及杂交元………………………………………199

 6．7本章的几点补充说明………………………………………………………………205

 习题…………………………………………………………………………………………206

第7章其他数值方法简单介绍………………………………………………………………207

7．1加权余量法的基本概念……………………………………………………………207

7．2离散型加权余量法…………………………………………………………………2ll

7．3弹性力学平面问题的加权余量法…………………………………………………216

7．4加权余量有限元及平面稳定温度场计算…………………………………………218

7．5广义协调元简介……………………………………………………………………223

7．6半解析法……………………………………………………………………………229

7．7样条有限元…………………………………………………………………………236

7．8边界单元法的基本概念……………………………………………………………240

第8章非线性代数方程组的数值解法………………………………………………………251

 8．1直接迭代法……………………………………………………………………………251

 8．2牛顿法和修正牛顿法………………………………………………………………253

 8．3拟牛顿法……………………………………………………………………………254

 8．4增量法………………………………………………………………………………259

 8．5增量弧长法…………………………………………………………………………261

第9章非线性本构关系简介…………………………………………………………………264

 9．1弹性介质本构关系…………………………………………………………………264．

 9．2弹塑性介质本构关系………………………………………………………………265

 9．3几种常用弹塑性材料模型简介…………………………………………………270

 9．4弹塑性本构关系弹塑性矩阵D锄的建立步骤……………………………………272

第10章材料非线性有限元分析……………………………………………………………273

lO．1非线弹性问题的有限单元法………………………………………………………273

10．2弹塑性问题的有限单元法…………………………………………………………276

第11章固体力学大变形基础知识…………………………………………………………279

 11．1物体运动等的物质描述……………………………………………………………279

 11．2格林(green)和阿耳曼西(Almansi)应变…………………………………………28l

 11．3物体运动等的空问描述和变形率…………………………………………………283

 11．4欧拉(Euler)、拉格朗日(I．agrange)、克希荷夫(Kirchhoff)应力………………285

 11．5大变形情况下的平衡方程和虚位移原理的虚功方程……………………………288

 11．6大变形情况的本构关系……………………………………………………………290

第12章大变形问题的有限单元法…………………………………………………………292

 12．1弹性稳定问题的有限单元法………………………………………………………292

 12．2大变形弹性问题的有限单元法……………………………………………………297

 12．3大变形增量问题的T．L法和u．l法……………………………………………298

附录1二维和三维问题程序简介……………………………………………………………306

 附1．1简要说明：………………………………………………………………………306

 附1．2主程序框图………………………………………………………………………306

 附1．3数据文件所包含的内容…………………………………………………………306

附录2向量与张量……………………………………………………………………………310

 附2．1向量………………………………………………………………………………310

  有限元法(FiniteElementMethod)是随着电子计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。 从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替待分析的连续体，也 即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。 有限元法借助于两个重要工具：在理论推导上采用了矩阵方法，在实际计算中采用了计算机技术。本章将介绍学习有限元法的必要预备知识。下面介绍的弹性理论有关方程的矩阵表示以及虚位移原理与势能原理是建立有限元方程的重要理论基础。当我们求出单元的结点位移后，与杆系结构一样，希望利用结点位移求出单元内任一点位移；在作单元分析确定单元结点力与单元结点位移关系时，也需要将单元中任一点位移用单元结点位移表示。一般情况下，单元内任一点的实际位移是坐标的很复杂的函数，仅利用单元的六个结点位移是不能精确表示的。正如上一章所述，一般情况下，由结点位移表示的单元内位移只是实际位移的一部分，或者说是实际位移的一个近似。实践表明，当合理地选择由结点位移可以确定的、用以替代单元的实际位移的位移形式，随着单元尺寸的减小，结果会收敛于实际位移的。我们把在有限元分析中用来替代单元实际位移的位移形式称为位移函数。可见，位移函数的选择直接关系到结果的收敛性，是很关键的一步。一般从台劳级数展开的意义出发，选多项式作为位移函数。这不仅运算简单，并且可由项数的多少直接控制结果的精度。按这样的思路，对当前单元，因仅有6个结点位移，故可选下式为单元的位移函数。（p1)

  随着计算机硬、软件的飞速发展，土木、水利、交通(桥涵)和机械等领域的设计工作都已进入计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助制造(CAM)阶段，并向智能辅助设计、智能辅助制造(ICAD、ICAM)方向发展。不论是CAD(ICAD)，还是CAM(ICAM)，其核心都是计算分析，有限单元法则是计算分析的主要手段之一。要想正确使用辅助设计或辅助制造的大型商用软件，要想结合所研究的工作根据需要进行二次开发，或深入研究一些工程问题，都必须要有较扎实的有限单元法知识。因此，几乎所有高校的土木、水利、交通(桥涵)和机械等专业，都为高年级学生安排了有限单元法基础课程，为研究生开设了有限单元法及程序的学位课程。本书共分为12章：前5章为基础部分，可供上述专业本科高年级学生使用；后7章属提高部分，可供研究生使用。由于有限单元法的文献资料实在太多，在确定本书取材时，作为基础部分的内容较为容易确定。但是，作为提高部分的内容就不好取舍了。根据土木、水利、交通(桥涵)和机械等专业研究工作经常使用的知识，我们选择了广义变分原理及应用、其他数值方法和非线性分析等的基本知识。着重介绍基本思想，为进一步学习和研究打下必要的基础。本书由哈尔滨工业大学土木工程学院王焕定、王伟在多年教案、讲义的基础上撰写而成。其中第l一6章由王伟撰写；第7～12章由王焕定撰写。全书内容都有相应的计算程序(带有交互输入，且大部分有图形后处理功能)，这些程序虽然作为教学程序比较简单，但仍可用来解决工程问题计算。全部程序由王焕定提供。由于本书公式较多，故以节为单元划分公式编号；同时考虑到临时推导公式的中间过程等式，在后续章节中用不到，或不重要，故为它们以章为单元安排了小序号，特此说明。在本书编写过程中得到哈尔滨工业大学土木工程学院的领导大力支持，也得到了张金生等老师的大力协助，在此一并表示衷心的感谢。由于作者水平所限，加之时间太紧，书中难免存在不妥及疏漏之处，望广大读者给予指正。