本书介绍了函数、极限、连续、微分学、积分学、矢量代数、空间解析几何、常微分方程的目标要求、基本内容及结构、典型例题、单元检测以及参考解答，帮助学习者较好地掌握教材内容，性成良好的知识体系，解决高等数学做题难的问题。

本书（第二版）由编者参照国家教育部高等工科院校《高等数学课程教学基本要求》，在第一版的基础上重新编写而成。第二版对第一版作了较大的修改和补充，吸取了广大教师在微积分教学中特别是使用本书第一版以来总结的经验，旨在帮助学习者更好地掌握教材内容，提高他们应用数学知识解决实际问题的能力。  全书根据高等数学的结构特征，分为八个单元，每一单元包括目标要求、基本内容与结构、典型例题、练习和单元检测及参考解答四个部分。本书结构简洁，针对性强，例题类型多样，注重知识的系统性和解题过程的方法分析。  本书可作为高等工科院校专科、本科学生学习高等数学的辅导教材；也可作为研究生应试的复习资料，还可为工科高等数学课程教学的教师提供参考。

第一单元 函数、极限与连续…………………………………………………………(1)

一、目标要求……………………·…………………………………………………(1)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(1)

三、典型例题…………………………………………………………………………(9)

四、单元检测…………………………………………………………………………(24)

参考解答…………………………………………………………………………  (29)

 第二单元一元函数微分学………………………………………………………………(31)

一、目标要求…………………………………………………………………………(31)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(31)

三、典型例题………………………………………………………“………………(40)

四、单元检测…………………………………………………………………………(61)

参考解答…………………………………………………………………………  (66)

 第三单元一元函数积分学………………………………………………………………(69)

一、目标要求…一……………………………………………………………………(69)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(69)

三、典型例题…………………………………………………………………………(77)

四、单元检测……………………………………………………………………  (101)

参考解答…………………………………………………………………………  (106)

第四单元………………………………………………………………………………… (110)

一、目标要求…………………………………………………………………………(110)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(110)

三、典型例题…………………………………………………………………………(118)

四、单元检测…………………………………………………………………………(136)

参考解答…………………………………………………………………………  (142)

 第五单元 矢量代数与空间解析几何…………………………………………………(146)

一、目标要求…………………………………………………………………………(146)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(146)

三、典型例题…………………………………………………………………………(153)

四、单元检测…………………………………………………………………………(164)

参考解答…………………………………………………………．：……………．(168)

第六单元 多元函数微分学………………………………………………………··…(171)

一、目标要求”………………………………………………………·……………(171)

二、基本内容及结构……··………………………………………………………(171)

三、典型例题…………………………………………………………………………(180)

四、单元检测…………………………………………………………………………(191)

参考解答…………………………………………………………………………  (196)

第七单元 多元函数积分学………………………………………………………………(199)

一、目标要求…………………………………………………………………………(199)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(199)

三、典型例题…………………………………………………………………………(213)

四、单元检测……………………………·……………··………………………(233)

参考解答…………………………………………………………………………  (241)

第八单元常微分方程…………………………………………………………………… (245)

一、目标要求…………………………………………………………………………(245)

二、基本内容及结构…………………………………………………………………(245)

三、典型例题…………………………………………………………………………(252)

四、单元检测……………………………………………………………--．-．… (262)

参考解答…………………………………………………………………………  (266)

第三单元 一元函数积分学    高等数学的核心内容是由微分学与积分学两大部分组成，从某种意义上看，积分法是微分法的逆运算．本单元首先从已知导函数求原函数的角度引入不定积分及其运算，从实际问题抽象出具有共同特征的重要极限一一部分和式极限，产生出定积分的概念，通过牛顿一莱布尼兹公式将定积分的运算转化为不定积分的运算，最后将定积分的内容及其思想方法广泛应用于解决许多数学和物理中的实际问题．本单元的突出特征是运算，无论是不定积分和定积分，都包含着许多重要的运算过程、运算方法和运算技巧．不容置疑，学好本单元对于培养和提高学习者的运算能力、运算技巧是十分重要的．另外本单元在定积分的应用中出一个十分重要的思想方法——微元分析法，这一方法不仅在多元函数积分学中还将广泛采用，同时也是积分学理论解决物理、工程技术等实际问题的重要思想方法，领会和掌握好这一思想方法对于应用数学理论解决实际问题，对于学习者学好大学物理等许多专业基础课将起到十分重要的基础作用．

一、目标要求

1．理解不定积分的概念及性质．

2．深刻理解定积分的概念及其思想过程，理解定积分的性质．

3．熟练掌握基本积分公式．

4．熟练掌握不定积分和定积分的第一类换元法、分部积分法和第二换元法．

5．会求简单的有理函数和无理函数的积分．

6．会查积分表．

7．理解变(上)限积分函数的导数定理，熟练掌握牛顿一莱布尼兹公式．

8．了解广义积分的概念．

9．了解定积分的近似计算(矩形法、梯形法和抛物线法)．

10．深刻领会“微元分析法”，会运用这一方法进行一些几何量(如面积、体积、弧长)和物理量(如功、引力等)的计算．    （P69）

本书是我们根据国家教育部高等工科院校《高等数学课程教学基本要求》，在第一版的基础上重新编写而成的．与第一版比较，主要有以下几个方面的变化：

1．对于全书的基本内容部分，我们在汲取了我校教师在微积分教学中，特别是使用本书第一版以来总结的经验的基础上，认真进行了编写，对于基本概念的叙述力求深入浅出、清晰准确；对于例题的选编力求典型、充实；对于各章练习及单元检测题的选择力求体现教学中的不同层次的要求，使学习者根据自己的学习目标有针对地选择练习．

2．调整了无穷级数部分在全篇中的位置，将它安排在一元积分学之后；场论的相关内容也从常微分方程部分调到了多元积分学部分，便于学习者更好地理解和学习第二类曲线积分和第二类曲面积分．

3．改变了一元积分学部分的编写方式，从内容的本质联系人手，将不定积分和定积分的叙述总结融合起来，使读者更清楚地把握二者的内在联系．4．练习与单元检测部分，在保持三个不同层次的练习的同时，将单元检测A、B改编、综合成了一套检测题，题目的选编适于学习者完成练习之后自行定时检测，测试要求以一般工科院校本科水平为准．

本书由龚灏主编，第二版参与编写的有：龚灏、袁勇、季光明、周卓儒、楚道玉、陈聆、胡灿、周仲礼．龚灏和袁勇承担了本书从组稿、修订到校对等工作．魏贵民教授审阅了全书，提出了不少宝贵意见．郭科教授参与本书的编写讨论工作，提出了许多建设性的意见，谨此表示感谢!

由于我们水平有限，不妥和谬误之处一定难免，恳请读者和使用本书的教师批评指正．

编 者

 2003年6月