本书是科学出版社“十四五”普通高等教育本科规划教材,主要介绍伽罗瓦理论及其应用,完整地介绍了如何利用域的扩张、伽罗瓦基本定理和群论的知识证明伽罗瓦大定理:代数方程可以根式解当且仅当其对应的伽罗瓦群为可解群,特别是一般五次以上代数方程没有根式解公式.在伽罗瓦理论的应用方面,介绍了尺规作图、e和π的超越性等.本书的主要特点是从第一视角切入,通过不断设问来将知识不断向前推进,尽可能做到介绍每个知识都有一个合理的理由.本书的部分习题有一定的难度,如果遇到困难可以通过相互讨论或者网络查询寻找答案.

目录
前言
第1章伽罗瓦理论的起源1
第2章域的扩张5
2.1有限扩张和代数扩张5
2.2代数闭包的存在性8
2.3分裂域及其专享性10
习题17
第3章伽罗瓦基本定理19
3.1中间域与子群19
3.2伽罗瓦基本定理24
3.3正规扩张29
习题31
第4章分裂域作为伽罗瓦扩张33
4.1可分扩张33
4.2完全域36
4.3代数学基本定理38
习题40
第5章多项式的伽罗瓦群41
5.1伽罗瓦群的基本特点41
5.2低次多项式的伽罗瓦群42
5.3布饶尔构造45
5.4分圆域47
5.5循环扩张51
习题54
第6章根式扩张与可解群56
6.1可解群56
6.2根式扩张59
6.3伽罗瓦根式扩张的伽罗瓦群可解60
6.4有可解伽罗瓦群的多项式可根式解62
6.5根式解公式64
6.6伽罗瓦反问题66
习题68
第7章尺规作图69
7.1尺规可作点69
7.2可作点的判定71
7.3正多边形74
习题79
第8章e和π的超越性80
8.1代数数和代数整数80
8.2林德曼–魏尔斯特拉斯定理82
习题93
第9章模p法求伽罗瓦群94
9.1有限域的扩张与伽罗瓦群94
9.2模p法96
习题100
参考文献101
索引102