内在现代数学的观点下，将代数与几何这两大领域，融合起来教学和学习，会帮助我们从本质上更好地理解它们，并产生更多方法。本书的特色是让代数与几何融为一个整体，力求做到“代数为几何提供研究工具，几何为代数提供直观背景”，让读者从代数“抽象的”高度，理解高维几何的意义。全书分为上、下两册。本书为上册，内容包括线性方程组与矩阵、行列式的定义与展开、可逆矩阵与矩阵的秩、向量代数、空间的直线和平面、线性空间、内积空间、方阵的特征值与特征向量、二次曲面、二次型，且以二维码的形式链接了部分视频作为教材的拓展或补充。

目录
前言
第1章 线性方程组与矩阵 1
1.1 求解线性方程组的Gauss消元法 1
1.2 矩阵与Gauss消元法 7
1.3 矩阵的基本运算 15
1.3.1 矩阵的加法与减法运算 15
1.3.2 矩阵的数乘运算 16
1.3.3 矩阵的乘法运算 16
1.3.4 矩阵的转置运算 20
本章拓展题 22
第2章 行列式的定义与展开24
2.1 行列式的定义与等价刻画 24
2.2 行列式的性质 32
2.3 行列式的展开与Laplace定理40
2.3.1 行列式按某行 (列) 展开 40
2.3.2 行列式按多行 (列) 展开 46
本章拓展题 51
第3章 可逆矩阵 矩阵的秩54
3.1 可逆矩阵 54
3.2 矩阵的初等变换与矩阵乘法 59
3.3 分块矩阵的运算 64
3.3.1 分块矩阵的和、差、数乘及乘积运算 64
3.3.2 分块矩阵的转置 67
3.3.3 分块矩阵的求逆 70
3.3.4 准对角阵及其运算 71
3.4 矩阵的秩 73
3.5 逆矩阵的计算 77
3.6 矩阵秩的等价刻画 80
3.7 矩阵的秩与线性方程组的解 83
3.8 矩阵运算对矩阵秩的影响 87
本章拓展题 89
第4章 向量代数 91
4.1 向量及其线性运算 91
4.1.1 向量及其表示 91
4.1.2 向量的加法 92
4.1.3 向量的数乘 94
4.1.4 向量的线性关系与向量的分解 .96
4.2 标架与坐标 101
4.2.1 标架、坐标系 101
4.2.2 向量及其线性运算的坐标表示 103
4.3 向量的内积 106
4.3.1 向量在轴上的射影 106
4.3.2 向量的内积 108
4.3.3 内积的坐标表示 111
4.4 向量的外积 114
4.4.1 外积的定义及运算规律 114
4.4.2 外积的坐标表示 118
4.5 向量的多重乘积 120
4.5.1 向量的混合积及其坐标表示 120
4.5.2 双重外积 122
第5章 空间的直线和平面 125
5.1 图形与方程 125
5.1.1 曲面的方程 125
5.1.2 曲线的方程 127
5.1.3 曲面、曲线方程举例 129
5.2 平面的方程 133
5.3 直线的方程 138
5.4 平面、直线的相互位置关系 142
5.4.1 两平面的相互位置关系 142
5.4.2 直线与平面的位置关系 143
5.4.3 两直线的相互位置关系 145
5.5 平面束及其应用 150
第6章 线性空间 155
6.1 线性空间的定义 155
6.2 向量组的线性关系 160
6.3 向量组的表示及其等价关系 164
6.4 极大线性无关组与向量组的秩 167
6.5 维数、基、坐标 170
6.6 基之间的过渡矩阵、坐标变换 173
6.7 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 177
6.8 子空间 184
6.9 线性方程组解的结构 187
本章拓展题 193
第7章 内积空间 195
7.1 欧氏空间的定义及其初步性质 195
7.2 标准正交基 201
7.3 酉空间 206
本章拓展题 207
第8章 方阵的特征值与特征向量 208
8.1 特征值与特征向量的定义及计算 208
8.2 特征值与特征向量的性质、Hamilton-Cayley定理 211
8.3 矩阵的相似及其性质214
8.4 矩阵的相似对角化 216
8.5 实对称矩阵的相似对角化 223
本章拓展题 228
第9章 二次曲面 230
9.1 柱面、锥面和旋转面 230
9.1.1 柱面 230
9.1.2 锥面 232
9.1.3 旋转面 235
9.2 其他二次曲面 241
9.2.1 椭球面 241
9.2.2 双曲面 242
9.2.3 抛物面 244
9.3 二次直纹面 249
9.3.1 单叶双曲面的直纹性 249
9.3.2 双曲抛物面的直纹性 252
第10章 二次型 258
10.1 二次型的定义及标准形 258
10.2 二次型的矩阵形式与矩阵的合同 263
10.3 二次型的规范形 267
10.3.1 复二次型的规范形 267
10.3.2 实二次型的规范形 269
10.4 实二次型的正交替换 272
10.5 实二次型的正定性 276
10.6 坐标变换 280
10.6.1 空间直角坐标变换 280
10.6.2 欧拉角 287
10.7 二次曲面的分类 291
10.7.1 二次曲面方程的化简 291
10.7.2 二次曲面的不变量和半不变量 293
10.7.3 二次曲面方程的化简与二次曲面的分类 295
10.8曲面的相交.305
10.8.1 相交图 306
10.8.2 区域的表示 307
本章拓展题 309
参考文献 311
附录 A 312
A.1 数域 312
A.2 复数及其运算 313
A.3 多项式函数 315
A.4 映射 319
A.5 集合的直积运算的刻画 324
A.6 群的初步知识 326
A.7 定理 10.7.7 的证明 329