本书可以极大地深化读者对协变微分学和协变变分学的理解；通过本书，读者将建立起充满活力的张量分析知识体系。

本书集成了作者在2012-2016年间的部分研究进展。本书分为上篇和下篇。上篇聚焦于空间，下篇集中于时间。上篇致力于静态空间域上的张量分析学，包括张量的经典微分学，张量的协变微分学，张量的广义协变微分学。下篇致力于动态时间域上的张量分析学，包括张量的局部变分学，张量的协变变分学，张量的广义协变变分学。上篇和下篇都围绕着协变性思想展开。上篇展示了空间域上的协变性，下篇展现了时间域上的协变性。上下篇相结合，揭示了平坦时空的协变性。上篇的核心概念是静态空间域上的经典协变导数和广义协变导数，以及经典协变微分和广义协变微分。下篇的核心概念是动态时间域上的协变导数和广义协变导数，以及协变变分和广义协变变分。广义分量是经典分量概念的拓展，是贯穿该书众多章节的有趣概念。公理化是上、下篇共同的思想基础，而协变形式不变性公设则是公理化思想的具体表现。以广义分量概念为突破口，以协变形式不变性公设为基础，该书将经典协变性思想发展成为广义协变思想，将经典协变微分学发展成为广义协变微分学，将局部变分学发展成为协变变分学和广义协变变分学。读者从本书可以看到：空间域和时间域上的张量分析学达到了致精致简，理论体系内在的不变性和优美的对称性一览无余。

第1章导言
1．1关于平坦时空
1．2关于张量及其协变性
1．3关于张量的协变微分学
1．4博士生的“幼稚”提问
1．5前辈数学力学家的疑惑
1．6协变微分学的局限性
1．7协变形式不变性
1．8从协变微分学到协变变分学
上篇平坦空间中的协变微分学与广义协变微分学
第2章自然标架与自然基矢量的Ricci变换
2．1自然坐标下矢径微分中的不变性
2．2逆变基矢量
2．3度量张量分量
2．4基矢量的指标变换
2．5协变基矢量的坐标变换
2．6逆变基矢量的坐标变换
2．7度量张量的杂交分量
2．8统一的Ricci变换
2．9度量张量的两点分量
2．10本章注释
第3章分量与广义分量的Ricci变换
3．1矢量的分解式
3．2矢量分解式中的广义对偶不变性
3．3矢量分解式中的表观形式不变性
3．4矢量的Ricci变换群
3．5张量分解式中的不变性与Ricci变换群
3．6广义分量概念
3．7张量的杂交分量
3．8杂交广义分量
3．9本章注释
第4章分量的协变导数
4．1从矢量场的偏导数到矢量分量的协变导数
4．2从张量场的偏导数到张量分量的协变导数
4．3经典协变导数的协变性
4．4度量张量分量的普通偏导数和经典协变导数
4．5分量之积的协变导数定义式
4．6第一类组合模式与经典协变导数的代数结构
4．7第二类组合模式
4．8矢量分量的杂交协变导数
4．9张量杂交分量的协变导数
4．10度量张量的杂交分量的协变导数
4．11张量杂交分量之积的杂交协变导数
4．12经典协变导数中的结构模式
4．13经典协变导数的概念生成模式
4．14再看经典协变导数的协变性
4．15普通偏导数的非协变性
4．16指标概念的补充分类
4．17Christoffel符号的进一步分析
4．18杂交Christoffel符号的进一步分析
4．19再看杂交Christoffel符号下指标的非对称性
4．20不易察觉的陷阱
4．21协变导数的代数结构再分析
4．22本章注释
第5章广义分量的广义协变导数
5．1矢量分量协变导数的延拓
5．2张量分量协变导数的延拓
……
下篇平坦空间中的协变变分学和广义协变变分学