《1+1不总等于2》是一门令人惊叹的数学课！
1+1=2，这可太简单了，谁不会啊！——那么，一个苹果加一个梨等于多少呢？是两个什么？
数学在物理学、工程学、天文学方面都有着举足轻重的地位，万物逻辑始于1+1，宇宙的尽头是1+1。搞懂数学的底层逻辑，你会发现，数学和物理原来是这么回事！
原始人类能否理解“1+1=2”这个我们现在看来如此简单的算式呢？
“薛定谔的猫”在二进制里有着怎样的解释？
数学到底是一种发现还是一种发明。

约翰·大卫·巴罗(John D.Bar-row)，剑桥大学教授，牛津大学天体物理学博士，英国数学家、理论物理学家、宇宙学家，他还是一名科普作家和剧作家。曾获狄拉克奖章(国际理论物理和数学物理领域的最高荣誉)、英国皇家天文学会金质奖章等。

第1章 1+1：真的有那么难吗？
第2章 手与脚，计数的起源
第3章 重新定义计算基础：比特和二进制运算
第4章 数字的定义
第5章 事物的集合
第6章 1+1=2，怀特海和罗素的演示
第7章 超限算术
第8章 哥德尔不完备性定理
第9章 为什么1和2如此常见？
第10章 数学到底是什么？

你们正在阅读的这本书
将会是我的最后一部作品，
我今后不会再出书了。这本
书探讨的是数字，就是我们
平时数数时会用到的数字。
在很多人心中，像“1+1＝2
”这样的运算实在是过于简
单，甚至不值一提。不过，
我们将一起探索这个最基础
的加法运算式中所蕴含的一
些复杂性，还有不同事物在
相加时展现出的微妙特性。
在这个过程中，我们会接触
到19世纪以及20世纪中一
些探讨了同样问题的伟大数
学发现，体会到数学家们是
如何思考并解决这些课题的
，同时真正了解数字和运算
的深层内涵。在探讨中，我
们会对一些不寻常的事物展
开思考，比如数字无穷大时
如何相加，还会探寻将其视
为数学学科一部分的可行性
。另外，我们还会对哥德尔
不完备性定理这个举世闻名
的理论进行探讨。最后，通
过分析，我们会得到一个关
于数学究竟为何物的答案—
—数学是被发现的还是被发
明的？不过，在开始之前，
我们要先从无数前人发展并
丰富过的数字系统和不同的
计数方法开始，从认识“1”
到再加上“1”从而得到“2”开
始。前人们是怎样在计数领
域不断进步的？我们会发现
不同的民族都开拓了各自独
有的计数方法，但几乎都是
从“1”和“2”开始，到最后殊
途同归于十进制系统——这
正是从人类双手的十根手指
而来。最后，通过西蒙·纽
康（Simon Newcomb）的
研究成果，也就是如今被熟
知的本福特定律，我们会认
识到关于“1”和“2”这两个数
字一些此前从未被注意到的
独特魅力，观察到这两个数
字是如何生动地反映这个真
实的世界的。
数字只是我生活的一部
分，更重要的是我身边的亲
人。其中最重要的当数我亲
爱的妻子伊丽莎白——我们
在55年前第一次相遇，如今
我们结婚也已超过45载；还
有我们的儿子大卫和他的妻
子艾玛、我们的另一个儿子
罗杰和他的妻子苏菲、我们
的女儿路易丝和她的丈夫斯
蒂芬；当然还有我可爱的孙
辈们，蒂利、达西、马勒、
盖和波皮。
在这里，我要特别感谢
我的儿子罗杰，感谢他在这
段困难的日子里用尽全力给
了我们夫妻莫大的帮助。我
还要感谢皮诺和乔，感谢他
们对这本译作的发行所付出
的努力，感谢他们与数学家
们一道完成了本书的翻译。
没有他们的贡献，就没有这
本书的出版。愿上帝保佑他
们！
“就像一股洪流，我们暂
时被一块巨石隔开。分别是
暂时的，我相信我们终会重
逢。”（《古今诗赋》，阿
瑟·韦利）。
约翰·大卫·巴罗（John
D.Barrow）

约翰·大卫·巴罗，剑桥大学教授、“千年数学”项目（MMP）负责人、数学家、物理学家，曾获曾获狄拉克奖章（国际理论物理和数学物理领域的超高荣誉）、英国皇家天文学会金质奖章等。
数学思维科普课！复杂的简单。1+1为什么等于2？1+1什么时候不等于2？这是怎么证明出来的？给你解答非数学专业也可以理解的逻辑过程。
思维有趣。将数学落到思维层面，有味有趣，比起干巴巴的数字、公式、理论，本书更多是在普及数学现象和思维技巧。

我们每个人在刚刚踏进小学课堂后就会遇到人生中的第一个算式——“1+1=2”。这是数学学习的第一步，也是这本书将要探讨的内容。你也许会问，这有什么好讨论的呢？这难道不是一个显而易见的结论吗？其实，我们对于“2”的定义似乎过于简单了。如果我们仔细地端详这个等式，我们会意识到它所表达的似乎另有深意。一个梨加一个苹果等于多少？是两个什么呢？不是两个梨也不是两个苹果。我们可以将结果简单地概括为两个东西吗？算式里的加号和等号又究竟是什么意思呢？它们所代表的真实含义到底是什么呢？如果我们把两条形状完全相同但是位置相反的波浪相加，那么其中一条波浪的顶端怡怡是另一条的底端，最终我们得到的不是两条波浪，而是零。如果我们将一个无穷小的数和另一个无穷小的数相加，我们就有了两个无穷小的数……得到的还是无穷小。如果我们用一个无穷大的数加上另一个无穷大的数，得到的依然是无穷大。这些例子都不符合“一和一的相加就得到二”这一原理。这也许令人感到困扰，有些事物并不像看上去那样简单。所以说，应当存在一些规则，使得两个单独的物体相加，最终得到“2”这个结果。
世界上所有的数字体系，以及在其基础上建立起来的科技体系，其实都是从“1+1”发展而来的。不过，在许多原始的数学体系中，其内部的进化并不是从简单且重复的“1”的相加而来，而是把手指或脚趾的数量当作参考，从而更好地记忆“5”“10”和“20”这些数字。在英语中，“2”有着特殊的地位，我们可以找到大量指代“2”这一含义的单词：一双（pair），二重唱（duo），一对（brace），双倍（double），双生（twin），二重奏（duet），两个（couple），轭（yoke），二人组（twosome），对子（dyad），双人（tandem），粒子对（duplet）和两（ wain）。在日常生活里，这些单词都表达着有关“2”的特定含义。比如：英语里我们说“一对（brace）野鸡”“一轭（yoke，此处“轭”用于形容同轭的一对动物）两牛”“一副（pair）手套”或者“一对（couple）舞者”，但是不能用“brace”来修饰鞋子或者用“couple”来修饰手套。”这表明在英语中表达“2”这个含义的量词，要根据所修饰名词的不同而改变。随着数字阶梯拾级而上，我们在意大利语中只能找到少量的关于“3”的词汇，而且这些词在日常生活中很少被用到；而到了“7”或者“11”这样的数字，基于它们而来的词可谓难寻踪迹。这一现象还广泛存在于英语、法语、德语和意大利语这四门欧洲语言的序数词中，以意大利语为例，“一”和“第一”写作uno和primo.“二”和“第二”则写作due和secondo，但是“三”和“第三”写作tre和terzo，“四”和“第四”写作quattro和quarto。可以看出，前两对从字形上看并无明显关联，而我们一眼就能发现后两对的同根性。在另外三种语言中，这一现象也十分明显：
英语：one/first， two/second， three/third， four/fourth……
法语：un/premier， deux/second （ 或deuxieme），trois/troisieme， quatre/quatrieme……
德语：ein/erste， zwei/ander （或 zweite）， drei/dritter，vier/vierte……
意大利语：uno/primo， due/secondo， tre/terzo，quattro/quarto……
在所有已知的印欧语系语言里，大于4的数字可以用作名词，但是绝不会被用作可以根据被描述事物的不同而变化自身形式的形容词。这一现象印证了一个自古即有的概念，也就是单独个体或者一对物体与无穷大的对立关系。这源自人类对1、2、3、4甚至5这些数字有着一望便知的能力，也就是我们可以瞬间就辨别出面前摆放着的1、2、3、4或者5件物品，无须笨拙地一个一个去数。但只要数量在这个基础上增加，我们就丧失了这种即时的数量感知能力，而必须依次数清这些物体的数量，或者将多件物体分成几组来掌握它们的数量信息。一个很明显的例子就是手机号码，我们会通过在这一长串数字中加入空格将它们分成三四个数字一组的形式，从而在短时间内记住这串号码。换句话说，这种分割也许来源于人类曾习惯弯曲除大拇指以外的四根手指来协助计数。比如在很多文明中，四根手指的宽度也被用于长度单位。①在英语中，表示“数字”这一含义的单词“digit”就来源于“手指”。如今，在品尝威士忌时，我们仍会用到“一指”这个概念来表达加入酒液的多少，也就是将威士忌倒人标准威士忌杯底部向上一指横卧的高度，再兑人热水饮用。
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