《高考数学培优40讲》针对高考数学中的重难点内容，分为四个分册：函数与导数；解析几何；三角、向量、数列、不等式与复数；立体几何与概率统计。全套书用高观点的视角、联系变化的眼光分析问题，洞悉问题背后的本质，达到“万理归一，大道至简”的境界。本书为“立体几何与概率统计”分册，重点从空间与平面、动与静的视角研究立体几何中的截面问题及折叠展开等动态问题以及几何体与球切接的模型；在概率统计常用模型的基础上转化演绎出各样计算、计数、决策等问题。丰富的方法和技巧贯穿始末，精彩纷呈。本书适合数学成绩优秀的学生挑战高分甚至满分使用，也适合高中数学教师、高考数学研究者，以及广大数学爱好者参考使用。

第34讲立体几何中的截面及空间轨迹问题
34.1 截面问题
34.2 空间轨迹问题
训练
第35讲立体几何中的折展问题及空间动态最值问题
35.1 折叠问题
35.2 展开问题
35.3 动态几何量的变化趋势
训练
第36讲球体及几何体模型应用
柱体外接球问题
36.1 长方体模型
36.2 汉堡模型
锥体外接球问题
36.3 墙角模型
36.4 对棱相等模型
36.5 切瓜模型
36.6 垂面模型
36.7 折叠问题
内切球问题
36.8 内切球相关量的计算
几何体模型应用问题
36.9 几何体模型的应用
训练
第37讲四大计数原理的应用
加法原理与乘法原理
37.1 代数计数
37.2 几何计数
37.3 涂色问题
容斥原理
37.4 容斥原理的应用
37.5 筛法公式的应用
抽屉原理
37.6 代数问题
37.7 同色三角形模型
训练
第38讲排列组合中的转化与化归思想
38.1 错位排列
38.2 圆排列与项链排列
38.3 相异元素的可重组合
训练
第39讲概率统计中的决策问题
39.1 小概率事件原理
39.2 依据概率、期望、方差决策
39.3 正态分布决策
39.4 构造新统计量做出决策
39.5 比赛中的决策问题
训练
第40讲概率统计核心概念与数学建模思想在高考中的应用
概率统计中的核心概念和性质
40.1 通过严谨量化判断独立性
40.2 条件概率的计算
40.3 事件互斥性的判断
40.4 等可能性的深度理解
40.5 抽样方法与数字特征
概率中的数学建模思想
40.6 概率中的函数思想
40.7 概率中的数列思想
训练
参考答案

前言《高考数学培优40讲》是一套诞生于新高考时
代，面向数学培优的教辅作品.自2017年教育部实行新
课程标准以来，我国高中数学的教学和考试发生了根本
性的变化.新课程标准明确提出将“学科素养”作为培
养人、选拔人的最重要指标，无论是教学还是考试都贯
穿“基础性、综合性、创新性和应用性”四大特征，这
意味着未来的数学考题，将从偏重经验归纳，转向加强
思维品质考查，加强考查思维的灵活性，发挥数学学科
的高考选拔功能.如何在教学中渗透对数学思维的培养
？这对广大教师和学生提出了新的要求.2019年起新教
材在部分省市被陆续使用.由于各地教学规划不同，近
几年出现了新教材新高考、老教材老高考、新教材老高
考等多种教学现状，这无疑进一步增加了教学备考的复
杂度.与此同时，数学高考也从过去的多省市独自命题
，逐步转向教育部统一命题.随着山东省、江苏省、浙
江省等一大批高考强省陆续加入全国卷的队伍，高考大
军竞争异常激烈.在过去的两年中，我们团队的老师们
深入全国10多个省份，陆续为接近100所重点高中作了
300多场数学培优讲座.在与广大一线师生的交流中，很
多教师最关心的问题就是:“未来高考会怎么考，我们
的数学课堂该如何教，高考培优应该讲什么？”由此可
见，在新的时代背景下，如何能组织好教学过程，真正
的培养出国家需要的人才让学生具备较高的数学素养进
而在高考中脱颖而出，成为了最核心的问题.这套书最
大的亮点就是完全出自教学实践.由于我们的课程是面
向数学功底较好的学生开展进行，所以在300多场讲座
中经历了无数次教师和学生之间、学生和学生之间的思
想交锋.甚至在一些互动交流过程中，出现了学生和老
师分成不同阵营，相互辩论的场面.而每一次的交流辩
论都让我们更加接近数学解题的本质，更加明白数学培
优课程应该讲什么、怎么讲.所以书中的内容既包含了
团队老师的辛勤付出，也包含了很多一线教师和数学尖
子生的集体智慧.综上所述，本套图书的内容不是一蹴
而就的，它经历了原创研发——教学实践——反思优化
，再教学实践——反思优化……这样一个又一个的轮回
，在这样螺旋式上升的迭代过程中，内容的质量与实用
性都达到了我们前所未有的高度.本套图书的另一大亮
点便是其深邃的思想性，主要体现在以下几个方面：1.
启迪智慧，知所以然好的教育永远都不是告知，而是启
发引导.在本套讲义的编写过程中充分尊重了这一规律
，例如通过分而治之的策略拆分函数实现不等式证明时
，我们没有止步于题目本身的解答，而是设置了一系列
的问题进行反思，甚至陪同读者一起走过错路与弯路，
在知识的探索与内化过程中，这些都是必经之路，通过
抛出一系列的问题，引导学生的思维步步深入，达到知
其然也知其所以然的境界.2.深入本质，返璞归真比勤
奋更重要的是深度思考的能力，在纷繁复杂的题目背后
抽丝剥茧或追本溯源以接近问题的本质，这是数学精神
，也是在书中带领并帮助读者习得的一项能力.例如在
解析几何的开篇，讲义一针见血地点明了数与形的辩证
关系，即以形助数和以数化形，抓住这一本源如同获取
一把钥匙.大道至简，衍化至繁，本套图书一直在通往
“道”的层面上前进不息.3.引申触类，远见卓识在学
习过程中，有纵向的“深”与横向的“伸”两个维度，
本书兼顾这两个维度并加以挖掘和拓展.在许多例题后
面设置了探究总结等版块，引申出了更多的定理与推论
，它们将带领读者进入一个更广阔的领域.4.高数视角
，知己知彼会当凌绝顶，一览众山小.当我们身处高一
级的层面，再反观原有的层面时，我们会发现问题的布
局或背景等原来看不到的事物.本书中有的内容，例如
泰勒展开、极点极线等专题就是在高等数学的视角下来
俯视问题，进入命题人的思维，这样真是知己知彼，百
战不殆.《高考数学培优40讲》共含《函数与导数》《
解析几何》《三角、向量、数列、不等式与复数》以及
《立体几何与概率统计》四本分册.从初稿到出版，我
们不断在教学实践中调整、完善，历经了四个版本的迭
代，积极采纳各方意见，数易其稿.同时，为了满足部
分尖子生的学习需要，我们在内容编写的过程中，有选
择的加入了一定比例的清北强基考试题目.这部分题目
与高考题目相结合，呈现出更加完整且富于变化的知识
体系，对培养数学思维能力和综合能力大有裨益.在本
书的创作过程中，团队的老师们付出了很多，感谢张宏
卫、余臣、孙光磊、李艳丽、张潇等各位老师的不懈努
力，也感谢清华大学出版社给予的大力支持.路漫漫其
修远兮，吾将上下而求索.在追求教学创新和培优精进
的道路上，注定没有尽头.限于编写水平有限，书中错
漏难免.欢迎各位读者帮我们纠正错误，我们也将在后
续版本中不断修订、调整.
张永辉2023年3月

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