中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2019年数学所讲座的8个报告中的7个报告，按报告的时间顺序排序，具体内容包括：Hecke代数简史，Fourier与Fourier分析，高维黎曼问题，丢番图问题、算术几何与凸几何，有限复叠与曲面的映射类群，全正性、丛变异和泊松结构，纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战等。
本书可供数学专业的高年级本科生、研究生、教师和科研人员阅读参考，也可作为数学爱好者提高数学修养的学习读物。

前言
1 漫谈Hecke代数的范畴化
1.1 Iwahori-Hecke代数
1.1.1 Coxeter群
1.1.2 Iwahori-Hecke代数的定义
1.1.3 卷积代数
1.1.4 典范基
1.1.5 范畴化
1.2 Hecke代数与旗流形上的斜截层
1.2.1 Grothendieck层与函数对应
1.2.2 旗流形上的导出范畴
1.2.3 斜截层范畴
1.2.4 范畴O与局部化理论
1.2.5 意义与推广
1.3 Hecke代数与Soergel双模
1.3.1 Soergel双模
1.3.2 Soergel双模的几何背景
1.3.3 Elias-Williamson的证明
1.3.4 意义
1.4 Hecke代数与图范畴
参考文献
2 Fourier与Fourier分析
2.1 引言
2.2 谁是Fourier
2.2.1 Fourier简介
2.2.2 拿破仑与法国大革命
2.2.3 谁是Fourier？
2.2.4 考古学家：埃及行
2.2.5 政治家Fourier：两任省长
2.2.6 物理学家Fourier：热传导方程和温室效应
2.2.7 数学家Fourier：Fourier级数与Fourier变换
2.2.8 Fourier的前辈：Bernoulli，Euler，d’Alembert，Lagrange
2.2.9 被遗忘的Fourier：遗忘与重生
2.2.10 纯数学与应用数学之争：为民服务还是为了人类精神之荣耀？
2.3 Fourier的贡献
2.3.1 《热的解析理论》
2.3.2 Fourier方法：无限长方棱柱体内热平衡态
2.3.3 热亦数控（Et ignem regunt numeri）：科学院大奖
2.3.4 《热的解析理论》的前言
2.4 Fourier级数的收敛性：Dirichlet定理
2.4.1 Dirichlet
2.4.2 Dirichlet定理
2.4.3 Fourier级数的收敛性研究
2.4.4 正交级数的收敛性
2.4.5 数论与Dirichlet级数
2.5 三角级数表示的函数：Riemann求和法
2.5.1 Riemann和他的任教资格论文
2.5.2 Riemann理论
2.5.3 Riemann积分
2.5.4 Riemann之后某些特殊三角级数和函数的研究
2.6 三角级数的唯一性问题：Cantor的集合论
2.6.1 Cantor的唯一性定理：集合论的第一篇文章
2.6.2 唯一性集和多重性集的研究
2.6.3 Rajchman测度和Riesz乘积测度
2.7 Lebesgue积分和三角级数
2.7.1 Lebesgue积分
2.7.2 Lebesgue积分应用于三角级数：Fourier分析的新起点
2.8 20世纪法国的Fourier分析
2.9 结束语
参考文献
3 高维黎曼问题
3.1 从一维黎曼问题说起
3.2 高维黎曼问题的困难
3.3 简化方程组的高维黎曼问题
3.4 高维黎曼初边值问题
3.5 结语
参考文献
4 丢番图问题、算术几何与凸几何
4.1 引言
4.2 紧黎曼曲面的代数性质
4.2.1 全纯函数芽
4.2.2 全纯函数芽的赋值
4.2.3 局部环层空间
4.2.4 黎曼曲面
4.2.5 亚纯函数
4.2.6 除子
4.3 有理函数域的算术
4.3.1 绝对值
4.3.2 赋范线性空间
4.3.3 有理函数域上的绝对值
4.3.4 有理函数域上的算术向量丛
4.3.5 注记
4.4 绝对值的扩张
4.4.1 赋超范Banach空间的分析
4.4.2 完备绝对值与范数的扩张
4.4.3 一般绝对值的扩张
4.4.4 代数函数域的算术
4.5 代数数域的几何
4.5.1 代数数域上的算术向量丛
4.5.2 数域的Riemann-Roch定理
4.5.3 Harder-Narasimhan理论
4.6 算术射影簇
4.6.1 线丛上的度量
4.6.2 度量族
4.6.3 Arakelov高度
4.6.4 射影概形的高度
4.6.5 Hilbert-Samuel定理
4.7 代数几何和算术几何中的凸分析方法
4.7.1 半群代数的组合
4.7.2 环面簇
4.7.3 Newton-Okounkov凸体
4.7.4 算术分次线性系的凹变换
4.8 随机耦合与测度传输在算术几何中的应用
4.8.1 随机变量的耦合与Hodge指标定理
4.8.2 测度传输与相对Brunn-Minkowski不等式
4.8.3 测度传输与相对等周不等式
A 附录
A.1 Caylay-Hamilton定理
A.2 整元
A.3 域的代数扩张
A.4 域上的可分有限代数
A.5 Galois扩张
参考文献
5 有限复叠与曲面的映射类群
5.1 曲面的映射类
5.2 Nielsen-Thurston分类
5.3 几何化之后的三维拓扑
5.4 映射类与映射环
5.5 曲面映射类的有限复叠提升
参考文献
6 全正性、丛变异和泊松结构
6.1 引言
6.2 全正性和丛变异
6.2.1 参数化和判别准则
6.2.2 正结构与全正性
6.2.3 环面坐标图的丛变异
6.3 Lusztig全正性和BFZ丛结构
6.3.1 G上的Lusztig全正结构
6.3.2 双Bruhat胞腔上的BFZ上丛结构
6.4 G 上的标准可乘泊松结构
6.4.1 泊松结构和T-泊松坐标图
6.4.2 泊松李群（G，πst）
参考文献
7 纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战
7.1 关于题目
7.2 流体力学的两朵“乌云”
7.3 纳维-斯托克斯方程的