本书为著名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。增订版对各章内容进行了补充与扩展，内容更为翔实。

大栗博司，美国加州理工学院理论物理讲席教授，理论物理研究所所长，日本东京大学Kavti数学物理学联合宇宙研究机构（Kavli IPMU）研究主任。东京大学理学博士，发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造，其研究曾获得美国数学学会大奖（2008年）、德国洪堡研究奖（2009年）、日本仁科纪念奖（2009年）、日本数学学会詹姆斯西蒙斯奖（2012年），《超弦理论：探究时间、空间及宇宙的本原》获得2014年日本第30届日本讲谈社科学出版奖。著有前沿物理科普三部曲《引力是什么》《强力与弱力》《超弦理论》，数学入门科普《用数学的语言看世界》等。

第1章 从不确定的信息中作出判断
序 欧·杰·辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张
1 先来掷骰子
2 打赌不输的诀窍
3 条件概率与贝叶斯定理
4 乳腺癌检查是否没有意义？
5 用数学来学习“经验”
6 核电站重大事故再次发生的概率
7 欧·杰·辛普森真的杀害了妻子吗？
第 2章 回归基本原理
序 创新与创造的必要条件
1 加法、乘法与运算三定律
2 减法与0的发现
3 （-1）×（-1）为何等于1？
4 分数与无限分割
5 假分数→带分数→连分数
6 用连分数制定历法
7 过去不被认可的无理数
8 二次方程的华丽历史
第3章 大数并不恐怖
序 最初的原子弹爆炸实验与“费米问题”
1 大气中的二氧化碳究竟增加了多少
1.1 人类消耗了多少热量
1.2 人类排放了多少二氧化碳
2 遇到大数不必慌张
3 让天文学家寿命倍增的秘密武器
4 复利最大化的存款方法
5 让银行存款翻倍需要多少年
6 用对数透视自然法则
第4章 不可思议的素数
序 纯粹数学的精华
1 埃拉托斯特尼筛法与素数的发现
2 素数有无穷个
3 素数的分布存在规律
4 用“帕斯卡三角形”判定素数
5 通过费马素性检验就是素数？
6 保护通信秘密的“公钥密码”
7 公钥密码的钥匙：欧拉定理
8 信用卡卡号SSL传输的原理
第5章 无限世界与不完备性定理
序 欢迎来到加州旅馆！
1 1=0.99999...让人难以接受？
2 阿喀琉斯永远追不上乌龟？
3 “我正在说谎”
4 “不在场证明”与“反证法”
5 哥德尔不完备性定理
第6章 测量宇宙的形状
序 古希腊人如何测量地球周长？
1 基础中的基础，三角形的性质
1.1 证明三角形内角和为180°
1.2 让人终生难忘的“勾股定理”证明
2 笛卡儿坐标与划时代的创想
3 六维、九维、十维
4 欧几里得公理不成立的世界
5 唯独平行公理不成立的世界
6 不用外部观测即可得知形状的“神奇定理”
7 画一个边长为100亿光年的三角形
第7章 微分源于积分
序 来自阿基米德的书信
1 为何先从积分开始？
2 面积究竟如何计算
3 任何形状都OK，阿基米德的夹逼定理
4 积分究竟计算什么
5 积分与函数
6 飞矢不动？
7 微分是积分的逆运算
8 指数函数的微分与积分
第8章 真实存在的“假想的数”
序 假想的朋友，假想的数
1 平方为负的奇怪的数
2 从一维的实数到二维的复数
3 复数的乘法运算“旋转与伸长”
4 从加法导出的加法定理
5 用方程解决几何问题
6 三角函数、指数函数与欧拉公式
第9章 测量“难”与“美”
序 伽罗瓦，20年的生涯与不灭功绩
1 图形的对称性是什么
2 “群”的发现
3 二次方程求根公式的秘密
4 三次方程为何可解
5 方程可解是什么意思
6 五次方程与正二十面体
7 伽罗瓦最后的书信
8 方程的“难度”与图形的“美”
9 拥有第二个灵魂
后记
附录 补遗

给女儿的数学赠礼
在你出生之时，我曾想
到，希望你在这世上幸福生
活的同时，也能成为社会进
步的推动者。虽然现代社会
问题不少，但我认为现在是
人类历史上最精彩的时代。
我也像每一位父母一样，希
望自己的子女能够享受世界
上最好的东西。不过，仅仅
这样并不够，这个精彩的时
代是人类用智慧和努力构建
出来的。我希望你不只是成
果的受惠者，也能成为创造
者，为后世留下更好的成果
。
21世纪也可以说是一个
不确定的时代，国际社会的
规则在不断改变。中国约有
14亿人，印度也约有14亿
人。如果这些群体的大多数
接受高等教育，进而从事知
识研究事业，世界的面貌就
会为之一新。说起这件事情
，有些人担心日本和美国的
发达国家地位会因此受到威
胁，但我并不这么认为。如
果发展中国家几十亿人获得
良好的教育机会，也会随之
诞生出很多解决目前社会问
题的新途径。世界整体教育
水平上升，能够分配的“蛋
糕”才能更大。对于生于21
世纪的你，这些情况既是挑
战，也是巨大的机会。
在这个瞬息万变的世界
中，自主思考的能力必不可
少。欧洲有“七艺”（Liberal
Arts）的教育传统，Liberal
原指“自由”，即“永不为奴”
的意思。也就是说，Liberal
Arts是一种让人自主掌握命
运、成为自由之人的素养。
不管是成为领导者之时，还
是面临预想之外的问题之时
，都必须锻炼自主思考以解
决问题的能力。
在古罗马时期，“七艺”
为逻辑、语法、修辞、音乐
、天文，还有算术和几何。
最开始的三项是为了磨炼“
论证”的语言技术，我认为
这三项之所以排在前面，是
因为它们是语言成形的必要
条件。只有学会使用语言，
才能获得思考的能力。
“七艺”之中的“算术”和“
几何”都属于数学领域，我
觉得很有趣。通常情况下，
大家会认为语言领域的文学
或外国语言文学属于文科，
数学属于理科，但我认为数
学和语言是相通的。数学可
以精准地描述事物，这种描
述能力超越了英语、日语等
自然语言的表现能力。所以
。如果理解数学，就能看到
那些无形的东西，想出他人
从未想到过的新创意。
我在小学阶段并不太喜
欢“算术”这门课，不过进入
中学后，“算术”演变成了“
数学”，我也渐渐爱上了这
门学科。这个转变的契机源
于自主思考给我带来的快感
。当我解开数学题时，答案
只有一个，别无其他。当碰
到在学校所学的知识无法解
答的问题并且凭借自己的思
考解出答案时，这种愉悦之
情愈发强烈。而且我根本不
需要去询问老师答案是否正
确，因为自己就能独立判断
。这就像婴儿迈出第一步后
，新的技能拓宽了对世界的
体验范围。我希望你也能体
会到这种愉悦。
本书是为了让你在21世
纪度过有意义的人生而写的
。当然，要想有体系地学习
数学，最好还是使用学校的
教材。如果把数学当作语言
，例如把数学比喻成法语，
那么本书并不是从零开始一
步步教语法和单词，而是一
本实用的会话集。带上它，
你可以去法国旅行，用法语
在巴黎的餐厅点餐。甚至服
务员在介绍“今日的推荐菜
品”时，你能马上理解并判
断是否应该点这道菜。或者
当你去参观卢浮宫，接触过
去那些伟大的作品时，你能
够提升自己的精神境界。除
了讲述数学的实践性应用外
，本书还会讲述从古巴比伦
、古希腊时期起数学的发展
趣事。
我不是一名数学家。我
在1989年获得了东京大学
的物理学博士学位，5年后
被聘为加州大学伯克利分校
的教授，自2000年起一直
任职于加州理工学院的物理
学教研室。不过在2010年
，数学教研室的老师们邀请
我兼任数学教授。最初我以
“自己从来没有验证过什么
有名的定理”为由予以拒绝
，但是他们劝我说“验证定
理不是为数学做贡献的唯一
方式。您的研究为数学研究
提出了新的问题，促进了数
学的新发展”，于是我只好
接受了他们的邀请。其实我
曾经提出过多个有关数学的
猜想，后来这些猜想都准确
地得到了数学家们的证明。
因此，我并不是一名证明定
理的数学家，而是作为一名
数学的使用者受到认可。本
书所讲述的内容，也正是从
使用者角度出发的数学知识
。
我决定在个人主页中补
充本书未说明的证明过程、
后续话题和参考文献，从而
确保出现新的发展时能够及
时补充相关知识、追加新的
参考文献。当然，阅读本书
时并不需要借助补充知识。
当阅读完本书时，如果想进
一步了解相关知识，也许浏
览我的个人主页是个不错的
选择①。本书也会引用与内
容相关的知识点。
下面，我们开始进入第1
章。