本书主要围绕近十年全国大学生数学竞赛初赛试题的考核侧重范围，将微积分的经典内容进行划分重组，最终以专题的形式呈现出来. 全书共包括九个专题，几乎覆盖了高等数学课程的
所有经典内容. 每个专题又包括了知识框架、基础训练和能力进阶三个模块. 本书不仅对各专题涉及的知识点进行了简单梳理，而且总结了常见的题目类型和计算方法. 特别之处，能力进阶模
块对近十年竞赛真题做了详细的思路分析并且给出了细致的求解过程.

目 录
专题一 函数、极限与连续 \t1
模块一 知识框架 \t1
模块二 基础训练 \t2
模块三 能力进阶\t11
专题二 导数与微分\t29
模块一 知识框架\t29
模块二 基础训练\t31
模块三 能力进阶\t37
专题三 微分中值定理与泰勒公式 \t45
模块一 知识框架\t45
模块二 基础训练\t46
模块三 能力进阶\t54
专题四 一元函数积分学 \t62
模块一 知识框架\t62
模块二 基础训练\t65
模块三 能力进阶\t77
专题五 常微分方程\t92
模块一 知识框架\t92
模块二 基础训练\t93
模块三 能力进阶\t102
专题六 多元函数微分学 \t109
模块一 知识框架\t109
模块二 基础训练\t110
模块三 能力进阶\t121
专题七 重积分 \t129
模块一 知识框架\t129
模块二 基础训练\t132
模块三 能力进阶\t144
专题八 曲线积分与曲面积分\t153
模块一 知识框架\t153
模块二 基础训练\t154
模块三 能力进阶\t173
专题九 级数\t183
模块一 知识框架\t183
模块二 基础训练\t184
模块三 能力进阶\t193
参考文献 \t201

前 言
全国大学生数学竞赛 (CMC)自2009年首次举办, 至今
已经走过了14个寒暑. 该竞赛为热爱数学的青年学子们提
供了一个展示自己数学功底的平台, 为高校发现和选拔具
有良好数学基础的后备人才提供了参考与借鉴, 此外还为
高等学校数学课程建设的改革和发展积累了素材.我校 (北
方工业大学)很早就认识到了数学竞赛对于高等数学教育的
重大意义, 学校高度重视、老师倾心投入、学生积极参与,
这在北方工业大学已经成为优良的传统, 根深而蒂固. 我
校为激发学生的参赛热情, 帮助那些优秀学子在竞赛中取
得理想的成绩, 投入了大量的人力物力, 采取了一系列积
极有力的措施, 比如在春季学期和秋季学期分别开设``高
等数学提高I''``高等数学提高I\\!I''等课程对学生进行系
统的培训, 在每年6月份举办校内数学竞赛作为全国大学生
数学竞赛的热身. 此外老师们还经常利用课余时间对优秀
学生进行一对一式的针对性辅导. 经过数年如一日的努力,
我们的竞赛培训工作积累了不少经验, 同时也取得了令人
欣慰的成绩, 比如最近几年我校在竞赛中的获奖总人数始
终位于市属高校前列. 同时有不少工科学生通过参与竞赛
提升了自己的数学能力, 从而有效地推动了专业课的学习,
有很多学生在升学深造中取得了优异的成绩, 被北大、清
华、北航、浙大等知名高校录取.成绩的取得促使我们产生
了分享成功经验的想法, 我们想把这些年的培训资料、具
体做法总结成书, 以便与程度相当的普通高校进行交流,
并为普通高校中有志于参加竞赛的学子提供一份可供参考的
资料.本书的结构是这样的：全书包括九个专题, 每章内容
由知识框架、基础训练、能力进阶三个模块构成. 其中知
识框架提纲挈领地罗列了本章的主要知识点. 考虑到这本
教辅书的读者都有着比较扎实的数学基础, 所以框架部分
的写法较为简洁, 我们追求的是线索清晰, 而非面面俱到.
基础训练模块, 我们选取的是一些与考研真题难度相当或
者略低于考研难度的题目, 这部分题目在竞赛中属于中低
难度的题型. 设置这个模块的目的是让青年读者对于数学
竞赛中的常用方法和基本题型有初步的认识. 最后是能力
进阶模块, 这个模块主要搜罗数学竞赛当中有一定难度的
题目, 设置它的目的是使青年读者的解题能力得到有效的
提升. 这部分题目均选自近些年的竞赛真题, 我们在每个
题的题号之后都标注了真题的年份. 为了确保内容的时效
性, 我们选取真题的时间下限为2012年. 当然为了与我校
教学特点相适应, 同时也为了保证参赛选手的积极性, 有
些难度过大的真题我们没有选入, 而且对于每个题的解法,
我们也是有所选择. 有些题目的解法不止一种, 我们尽可
能地选取思路自然、步骤简明的解法呈现给读者, 同时在
每个题的求解之前, 我们均简要地给出了该题的求解思路.
本书是由北方工业大学公共数学团队的段利霞、孔新雷、钱
盛、钟昱、王智慧五位老师共同编写. 我们水平有限, 但
是常年主讲高等数学提高系列课程, 积极参与校内竞赛的
组织与全国大学生数学竞赛的培训工作, 在此过程中积累
了一些教学经验, 本书可以算是我们这个团队近几年工作
的一个总结. 本书是在北方工业大学公共数学团队的带头
人邹杰涛教授的悉心指导和大力推动下完成的, 邹老师从
教三十余年, 经验丰富, 在本书编写过程中为我们提出了
非常多而且细致入微的宝贵建议. 此外本书在出版过程中
得到了各级领导在政策、经济方面的支持. 在此, 对曾给
予过我们大力支持和无私帮助的领导、校内外专家、同事表
示衷心的感谢. 北方工业大学非常重视本科生教学工作,
在学校的支持下, 我们公共数学团队近年来与清华大学出
版社合作出版了多部教材和教辅图书, 每一部书的出版都
凝聚了出版社刘颖老师的心血. 刘颖老师为这些教材的编
写工作提出了很多宝贵意见, 大幅提升了这些教材的质量.
本书编者代表北方工业大学公共数学团队对刘老师表示衷心
的感谢.本书编者是五位青年教师, 水平有限, 疏漏之处在
所难免, 恳切希望读者指正. 如果读者发现错误, 可以通
过企业微信和我们联系.
编者2023年2月于北方工业大学

一本适用于大学生数学竞赛辅导类课程使用的微积分教材