本书系统地介绍分数阶微积分学领域的理论知识与数值计算方法。特别地，作者提出并实现一整套高精度的分数阶微积分学的数值计算方法；提出线性、非线性分数阶微分方程的通用数值解法和基于框图的通用仿真框架；提出并实现了基于框图的分数阶隐式微分方程、延迟微分方程与分数阶微分方程边值问题的通用求解方法。本书所有知识点均配有高质量的MATLAB代码与Simulink模型，有助于读者更好地理解知识点的内涵，更重要的是，读者可以使用这些代码创造性地解决相关问题。
本书可供数学与应用科学领域的高年级本科生、研究生与工程师系统学习分数阶微积分学理论及其计算方法，并用其解决实际应用问题。

薛定宇，1985年、1988年、1992年分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国家教学成果二等奖。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为国家精品课程、国家精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为辽宁省精品资源共享课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国慕课网站。

第1章 分数阶微积分学简介
1.1 分数阶微积分学的历史回顾
1.2 自然世界中的分数阶现象与模型举例
1.3 分数阶微积分计算的历史回顾
1.3.1 分数阶微积分的数值计算
1.3.2 分数阶常微分方程的数值计算
1.3.3 分数阶偏微分方程的数值计算
1.4 分数阶微积分与分数阶控制工具简介
1.5 本书的结构
1.5.1 本书的主要内容与要点
1.5.2 阅读本书的建议
参考文献
第2章 常用特殊函数的定义与计算
2.1 误差函数与补误差函数
2.2 Gamma函数
2.2.1 Gamma函数的定义与性质
2.2.2 复数的Gamma函数
2.2.3 Gamma函数的其他表现形式
2.2.4 不完全Gamma函数
2.3 Beta函数
2.3.1 Beta函数的定义与性质
2.3.2 不完全Beta函数
2.4 Dawson函数
2.5 超几何函数
2.6 Mittag-Leffler函数
2.6.1 单参数Mittag-Leffler函数
2.6.2 双参数Mittag-Leffler函数
2.6.3 多参数Mittag-Leffler函数
2.6.4 Mittag-Leffler函数与超几何函数的关系
2.6.5 Mittag-Leffler函数的导数
2.6.6 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算
本章习题
参考文献
第3章 分数阶微积分：定义与计算
3.1 分数阶Cauchy积分公式
3.1.1 Cauchy积分公式
3.1.2 常用函数的分数阶微分与积分公式
3.2 Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义与计算
3.2.1 高阶整数阶导数的推导
3.2.2 Grünwald-Letnikov分数阶微分的定义
3.2.3 Grünwald-Letnikov分数阶微分与积分的数值计算
3.2.4 Podlubny的矩阵算法
3.2.5 短时记忆效应及其探讨
3.3 Riemann-Liouville分数阶微积分定义与计算
3.3.1 高阶整数阶积分公式
3.3.2 Riemann-Liouville分数阶微积分定义
3.3.3 常用函数的Riemann-Liouville微积分公式
3.3.4 初始时刻平移的性质
3.3.5 Riemann-Liouville定义的数值计算
3.3.6 Riemann-Liouville微积分的符号计算
3.4 Caputo分数阶微积分定义
3.4.1 Caputo微积分定义
3.4.2 常用的Caputo导数公式
3.4.3 Caputo定义的符号运算
3.5 各种不同分数阶微积分定义之间的关系
3.5.1 Grünwald-Letnikov与Riemann-Liouville定义的关系
3.5.2 Caputo与Riemann-Liouville定义的关系
3.5.3 Caputo分数阶微分的数值计算
3.6 分数阶微积分的性质与几何解释
3.6.1 分数阶微积分的性质
3.6.2 分数阶积分的几何解释
本章习题
参考文献
第4章 分数阶微积分的高精度数值计算
4.1 任意整数阶的生成函数构造
4.2 高精度Grünwald-Letnikov导数算法的尝试
4.2.1 基于FFT的算法
4.2.2 系数计算的递推公式
4.3 高精度Grünwald-Letnokov算法与实现
4.3.1 非零初值的分解与补偿
4.3.2 高精度算法与实现
4.3.3 算法的测试与评价
4.3.4 再论矩阵算法
4.4 Caputo微分的高精度算法
4.4.1 算法与实现
4.4.2 算法的测试与评价
4.4.3 基准测试问题求解
4.5 更高阶分数阶导数的计算
4.5.1 整数阶高阶导数的高精度算法
4.5.2 高阶分数阶导数计算
本章习题
参考文献
第5章 分数阶微积分算子与系统的近似
5.1 线性整数阶模型的表示与分析
5.1.1 数学模型输入与处理
5.1.2 时域与频域响应
5.1.3 分数阶线性系统的建模与分析
5.2 基于连分式的几种近似方法
5.2.1 连分式近似
5.2.2 Carlson近似
5.2.3 Matsuda-Fujii近似
5.2.4 拟合效果与滤波器参数选择的关系
5.3 Oustaloup滤波器近似
5.3.1 常规的Oustaloup近似
5.3.2 一种改进的Oustaloup滤波器
5.4 分数阶传递函数的整数阶近似
5.4.1 分数阶传递函数的高阶近似
5.4.2 基于模型降阶技术的低阶近似方法
5.5 无理分数阶模型的近似
5.5.1 隐式无理模型的近似
5.5.2 频域响应近似方法
5.5.3 Charef近似
5.5.4 复杂无理模型的最优Charef滤波器设计
5.6 离散滤波器近似
5.6.1 FIR滤波器逼近
5.6.2 IIR滤波器逼近
5.6.3 基于阶跃或冲激响应不变性的离散滤波器
本章习题
参考文献
第6章 线性分数阶微分方程的解析解与数值解
6.1 线性分数阶微分方程简介
6.1.1 线性分数阶微分方程的一般形式
6.1.2 不同定义下的分数阶导数初值问题
6.1.3 一个重要的Laplace变换公式
6.2 一些线性分数阶微分方程的解析解方法
6.2.1 线性单项分数阶微分方程
6.2.2 双项分数阶微分方程
6.2.3 三项分数阶微分方程
6.2.4 一般n项分数阶微分方程
6.3 同元次线性微分方程的解析求解
6.3.1 同元次微分方程的一般形式
6.3.2 线性分数阶微分