伯特兰·罗素（1872—1970），英国数学家、逻辑学家。二十世纪英国著名哲学家，分析哲学创始人和主要代表。

晏成书（1923年9月—1995年4月），北京大学哲学系教授、著名逻辑学家。

序言

编者注

第一章 自然数串

第二章 数的定义

第三章 有穷与数学归纳法

第四章 序的定义

第五章 关系的种类

第六章 关系的相似

第七章 有理数、实数和复数

第八章 无穷基数

第九章 无穷序列与序数

第十章 极限与连续数

第十一章 函数的极限与连续性

第十二章 选择与乘法公理

第十三章 无穷公理与逻辑类型

第十四章 不相容性与演绎法理论

第十五章 命题函项

第十六章 摹状词

第十七章 类

第十八章 数学与逻辑

索引

《数理哲学导论/汉译世界学术名著丛书》：

仅仅在文明的高级阶段上，我们方能以这一串数作为我们的起点。发现一对鸡、两昼夜都是数2的实例，一定需要很多年代，其中所包含的抽象程度确实不易达到。至于1是一个数的发现，也必定很困难。说到0，这更是晚近加入的，希腊人和罗马人没有这个数字。假使我们曾经从事于早期的数理哲学的研究，我们必得从比自然数串不那么抽象的东西人手，而以自然数串作为在我们追溯的探讨中所达到的一个阶段。反之，当我们对数学的逻辑基础逐渐熟悉时，我们可以追溯到比现在所达到的更远的地方，那时我们的出发点将是在分析中比自然数还较后的一个阶段。但是在目前，自然数似乎代表数学中最易知、最熟悉的东西。

我们对于自然数虽是熟悉，却并没有了解。什么是“数”，什么是“0”，什么是“1”，很少人严格解释过，更不用说下定义。不难看出，任何O以外的自然数能够从0开始，由重复地加1得到，但是阿谓“加1”，何谓“重复地”，它们的意义是什么，我们必须加以定义。这些问题可并不容易解决。直到最近，人们都相信算术的基本概念中至少有一些由于过于简单和基本而不能定义。因为所有被定义的概念是借助于其他概念来定义的，显然，为了有一个作定义的起点，人类知识必须接受一些易明的，没有定义的概念，以此为满足。至于是否必须有不能定义的概念，这一点还不清楚：可能在作定义时，我们由一个定义追溯到在前的一个定义，一直下去，无论我们后退多远，我们总还可以走得更远。另一方面也可能当分析进行得够远时，我们能够达到一些概念，它们实在是简单，因此在逻辑上不容下一种分析的定义。这个问题我们不必解决；为了我们的目的，只需注意，由于人类能力有限，我们所知道的定义必须从某些概念开始，这些概念虽则或许不是永远不能定义，但在当前还不曾定义。

所有传统的纯粹数学，包括解析几何在内，全可以看作是有关自然数的命题所组成。这也就是说，其中的概念可以用自然数来定义，其中的命题可以从自然数的性质推演得出。——当然，在每种情形下，还得加上一些纯逻辑的概念和命题。

很早以前就有人猜测，所有传统的纯粹数学或许都能从自然数推导出来，但是这一点的真正发现，却是非常近的事。从前，毕达哥拉斯相信，不仅数学，就是其他各种事理都能从数演绎出来，在把数学“算术化”时，他发现一个极严重的困难，那就是不可通约量，特别是正方形的边与对角线不可通约性的存在。如果正方形边长一寸，那么对角线的寸数是2的平方根，可是这似乎根本不是一个数。这样引起来的问题只是在我们的时代才被解决，并且只是借助于把算术归约到逻辑才得以完全解决，这一点我们将在以下诸章中阐明。至于现在，我们姑且承认数学的算术化。虽然这是一个非常重要的功绩，但是我们不拟详论。